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  高中数学中射影定理的内容是什么?

  高中数学中射影定理的内容是什么?

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2020-03-17 17:57
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陈惠娟

  射影射影就是正投影,从一点到过顶点垂直于底边的垂足,叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线段在这直线上的正投影,即射影定理。[编辑本段]直角三角形射影定理直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

  公式如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:

  (1)(BD)^2;=AD·DC,

  (2)(AB)^2;=AD·AC,

  (3)(BC)^2;=CD·AC。

  证明:在△BAD与△BCD中,∠A+∠C=90°,∠DBC+∠C=90°,∴∠A=∠DBC,又∵∠BDA=∠BDC=90°,∴△BAD∽△CBD相似,∴AD/BD=BD/CD,即(BD)²=AD·DC。其余类似可证。(也可以用勾股定理证明)

  注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式(2)+(3)得:

  (AB)^2;+(BC)^2;=AD·AC+CD·AC=(AD+CD)·AC=(AC)^2;,

  即(AB)^2;+(BC)^2;=(AC)^2;。

  这就是勾股定理的结论。[编辑本段]任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”:

  设⊿ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有

  a=b·cosC+c·cosB,

  b=c·cosA+a·cosC,

  c=a·cosB+b·cosA。

  注:以“a=b·cosC+c·cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB,故名射影定理。

  证明1:设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且

  BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB.同理可证其余。

  证明2:由正弦定理,可得:b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

  =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.同理可证其它的。

2020-03-17 17:59:46

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