分析：

　　（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a（2）由题意可得在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0时，容易检验是否符合题意，②当a≠0时，由题意可得必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，则a＞0，从而2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．考查函数g（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），结合二次函数的性质可求（3）由题意可得．问题转化为b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2-x3的值域．方法1：构造函数g（x）=x（lnx+x-x2），令h（x）=lnx+x-x2（x＞0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求方法2：对函数g（x）=x（lnx+x-x2）求导可得g'（x）=lnx+1+2x-3x2．由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x-3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，即g'（x）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合，可知x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值

　　（1）=．…（1分）因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…（2分）即，解得a=0．…（3分）又当a=0时，f'（x）=x（x-2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（4分）（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，所以在区间[3，+∞）上恒成立．…（5分）①当a=0时，f'（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以fx）在[3，+∞上为增函数，故a=0符合题意．…（6分）②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．…（7分）令g（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），其对称轴为，…（8分）因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，因为g（3）=-4a2+6a+1≥0，解得．…（9分）因为a＞0，所以．综上所述，a的取值范围为．…（10分）（3）若时，方程x＞0可化为，．问题转化为b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2-x3的值域．…（11分）以下给出两种求函数g（x）值域的方法：方法1：因为g（x）=x（lnx+x-x2），令h（x）=lnx+x-x2（x＞0），则，…（12分）所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…（13分）因此h（x）≤h（1）=0．而，故b=x?h（x）≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）方法2：因为g（x）=x（lnx+x-x2），所以g'（x）=lnx+1+2x-3x2．设p（x）=lnx+1+2x-3x2，则．当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；因为p（1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g'（x）=0，∴当0＜x＜x时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x）上单调递减；当x＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（1，+∞）上单调递减；又因为，当x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）

　　点评：

　　本题主要考查了利用函数的导数求解函数极值的应用，及利用函数的导数研究函数的单调性及函数的最值的求解，解答本题要求考生具备较强的逻辑推理与运算的能力