四、函数的值域和最值

　　思考：常见的求值域的方法有：（1）直求（利用的范围一点点向外求值域）；（2）反解（用表示求解）；（3）分离变量；（4）均值不等式；（5）换元为二次函数（或已知的函数）；（6）函数单调性（包括求导）；（7）用判别式求解；（8）线性规划知识.

　　注意：值域依赖于定义域,但不同的定义域可以有相同的值域.

　　预热题组：求下列函数的值域：

　　（1）；；

　　方法：换元

　　令,则

　　所以：

　　值域为：

　　（2）；；

　　方法：分离变量和直求

　　因为：,所以

　　即值域为：

　　（3）；；

　　方法：分段求,然后求并集.或看图象

　　答案：

　　（4）,

　　方法：求导看单调性

　　0x09

　　1x09

　　3

　　x09负x090x09正x09

　　1x09减x09极小值

　　增x0919

　　所以值域为：

　　例1：设m是实数,记M={m|m>1},

　　(1)证明：当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义；反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M.

　　(2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值.

　　(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.

　　（1）证明：真数

　　当时,真数为正,即当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义

　　同样地,真数成立,即,所以若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M.

　　所以：

　　（3）由（2）则

　　当且仅当时取等号.

　　所以

　　例2：设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ0恒成立,试求实数a的取值范围.

　　,在上成立,

　　所以

　　（2）即恒成立,即,成立

　　,成立

　　令在区间上减,所以

　　满足,成立,即大于的最大值,所以

　　练习1：函数（）的值域是：

　　A.x09B.C.x09x09D.

　　方法：通过求导利用单调性（不能用均值,因为没有正数条件）

　　,函数单调减,所以,选B

　　练习2：函数的值域是：

　　A.x09x09B.C.Rx09x09D.

　　方法：换元成为二次函数求解

　　令,则

　　,即函数的最大值为,选A

　　练习3：一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于()2千米,那么这批物资全部运到B市,最快需要_________小时(不计货车的车身长).

　　方法：利用均值不等式求解

　　,当且仅当即千米/小时时取等号.

　　练习4：设为方程的两个实根,当m=_________时,有最小值_________.

　　方法：二次函数,注意有根条件

　　有两个实根,则,即或

　　当时,有最小值为

　　练习5：某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位：百台)

　　(1)把利润表示为年产量的函数；

　　(2)年产量多少时,企业所得的利润最大?

　　(3)年产量多少时,企业才不亏本?

　　分析：利润等于收入减去成本

　　（1）当时,

　　当时,

　　即：

　　（2）

　　当,最大值为

　　当时,最大值

　　所以当生产475百台时,有最大利润为10.78125万元

　　（3）不亏本,就是或

　　解得：百台

　　答：略

　　练习6：已知函数

　　(1)若的定义域为,求实数a的取值范围；

　　(2)若f(x)的值域为,求实数a的取值范围.

　　（1）真数恒成立

　　当且时,即时成立

　　当时且,解得：或

　　所以,定义域为R,则或

　　（2）值域为R,则真数可取遍所有正数

　　当且时,即时成立

　　当时且,解得：

　　所以,值域为R,则

　　练习7：某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算,这些工时均用于生产)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

　　家电名称x09空调器x09彩电x09冰箱

　　工时x09

　　产值(千元)x094x093x092

　　问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)

　　设生产空调器台,彩电台,冰箱台,则有：

　　,求总产值的最值

　　当时,有最大总产值1050千元

　　答：略

　　练习8：在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之和为S1,△ABC的内切圆面积为S2,记=x.

　　(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域.

　　(2)求函数f(x)的最小值.

　　且所以：

　　其中,即

　　（2）

　　,所以在,函数单减,

　　练习9：用总长14.8m的钢条作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.

　　设长、宽、高分别为,则有：

　　函数在上增,在上减,所以当时有最大容积为1.8立方米.