来自陈芝铭的问题
已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a2+b2+c2=3,则abc的最大值为___.
已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a2+b2+c2=3,则abc的最大值为___.
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2020-03-19 23:54
已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a2+b2+c2=3,则abc的最大值为___.
已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a2+b2+c2=3,则abc的最大值为___.
由a+b+c=1,a2+b2+c2=3可得
1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=3+(2ab+2bc+2ac),故有ab+bc+ac=-1.
∴-1=ab+c(a+b)=ab+c(1-c),∴ab=c2-c-1.
又a+b=1-c,∴由韦达定理可知,a和b是关于x的方程x2+(c-1)x+(c2-c-1)=0的两根.
∴△=(c-1)2-4(c2-c-1)≥0,整理可得3c2-2c-5≤0,解得-1≤c≤53