自变量x和因变量y有如下关系：

　　y=kx+b（k为任意不为零实数,b为任意实数）

　　则此时称y是x的一次函数.

　　特别的,当b=0时,y是x的正比例函数.

　　即：y=kx（k为任意不为零实数）

　　定义域：自变量的取值范围,自变量的取值应使函数有意义；若与实际相反,

　　.

　　一次函数的性质

　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k

　　即：y=kx+b（k≠0)（k为任意不为零的实数b取任何实数）

　　2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距.

　　3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)

　　形.取.象.交.减

　　一次函数的图像及性质

　　1．作法与图形：通过如下3个步骤

　　（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；

　　（2）描点；

　　（3）连线,可以作出一次函数的图像——一条直线.因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可.（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

　　2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式：y=kx+b(k≠0).（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0,b),与x轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像总是过原点.

　　3．函数不是数,它是指某一变量过程中两个变量之间的关系.

　　4．k,b与函数图像所在象限：

　　y=kx时

　　当k＞0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大；

　　当k＜0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小.

　　y=kx+b时：

　　当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,三象限.

　　当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一,三,四象限.

　　当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二,三,四象限.

　　当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,四象限.

　　当b＞0时,直线必通过一、二象限；

　　当b＜0时,直线必通过三、四象限.

　　特别地,当b=0时,直线通过原点O（0,0）表示的是正比例函数的图像.

　　这时,当k＞0时,直线只通过一、三象限；当k＜0时,直线只通过二、四象限.

　　4、特殊位置关系

　　当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

　　当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

　　确定一次函数的表达式

　　已知点A（x1,y1）；B（x2,y2）,请确定过点A、B的一次函数的表达式.

　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b.

　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式y=kx+b.所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

　　（3）解这个二元一次方程,得到k,b的值.

　　（4）最后得到一次函数的表达式.

　　一次函数在生活中的应用

　　1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数.s=vt.

　　2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数.设水池中原有水量S.g=S-ft.

　　常用公式（不全,希望有人补充）

　　1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

　　2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

　　3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

　　4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

　　5.求两一次函数式图像交点坐标：解两函数式

　　两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则(x0,y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标

　　6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2,（y1+y2）/2]

　　7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为0,则分子为0)

　　kb

　　++在一、二、三象限

　　+-在一、三、四象限

　　-+在一、二、四象限

　　--在二、三、四象限

　　8.若两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2,那么k1=k2,b1≠b2

　　9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,那么k1×k2=-1

　　应用

　　一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时,y随x的增大而增大；（2）当k<0时,y随x的增大而减小.利用一次函数的性质可解决下列问题.

　　一、确定字母系数的取值范围

　　例1.已知正比例函数,则当m=______________时,y随x的增大而减小.

　　根据正比例函数的定义和性质,得且m<0,即且,所以.

　　二、比较x值或y值的大小

　　例2.已知点P1（x1,y1）、P2（x2,y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点,且y1>y2,则x1与x2的大小关系是（）

　　A.x1>x2B.x1<x2C.x1=x2D.无法确定

　　根据题意,知k=3>0,且y1>y2.根据一次函数的性质“当k>0时,y随x的增大而增大”,得x1>x2.故选A.

　　三、判断函数图象的位置

　　例3.一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过（）

　　A.第一象限B.第二象限

　　C.第三象限D.第四象限

　　由kb>0,知k、b同号.因为y随x的增大而减小,所以k<0.所以b<0.故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限.故选A.典型例题:

　　例1.一个弹簧,不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长,伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上