在平面直角坐标系XOY中,若二次函数f(x)=x^2+2x+-查字典问答网
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来自戴木权的问题

  在平面直角坐标系XOY中,若二次函数f(x)=x^2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,(转问题补充)且经过三的交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围b

  在平面直角坐标系XOY中,若二次函数f(x)=x^2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,(转问题补充)

  且经过三的交点的圆记为C.

  (1)求实数b的取值范围b

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2020-03-19 23:12
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李洪人

  .(1)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b);

  令f(x)=x²+2x+b=0,由题意b≠0且△>0,解得b<1且b≠0.

  (2)设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0

  令y=0得x²+Dx+F=0这与x²+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b.

  令x=0得y²+Ey+F=0,方程有一个根为b,代入得出E=-b-1.

  所以圆C的方程为x²+y²+2x-(b+1)y+b=0.

  (3)圆C必过定点,证明如下:

  假设圆C过定点(x0,y0)(x0,y0不依赖于b),将该点的坐标代入圆C的方程,

  并变形为x0²+y0²+2x0-y0+b(1-y0)=0(*)

  为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立,必须有1-y0=0,结合(*)式得

  x0²+y0²+2x0-y0=0,

  解得

  {x0=0

  y0=1

  或{x0=-2

  y0=1

  PS无论x0还是y00都要比xy写的小就像x1y1一样.

  解题方法

  (1)由题意知,由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0,然后抛物线与x轴有两个交点即令f(x)=0的根的判别式大于0即可求出b的范围;

  (2)设出圆的一般式方程,根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知:令y=0得到与f(x)=0一样的方程;令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程;

  (3)设圆的方程过定点(x0,y0),将其代入圆的方程得x0²+y0²+2x0-y0+b(1-y0)=0,因为x0,y0不依赖于b得取值,所以得到1-y0=0即y0=1,代入x0²+y0²+2x0-y0=0中即可求出定点的坐标.

2020-03-19 23:15:46

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