已知实数a满足a≤-1,函数f(x)=ex(x2+ax+1)-查字典问答网
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来自李景霞的问题

  已知实数a满足a≤-1,函数f(x)=ex(x2+ax+1).(1)当a=-3时,求f(x)的极小值;(2)若g(x)=2x3+3(b+1)x2+6bx+6(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同,证明:g(x)的极大值大于等于

  已知实数a满足a≤-1,函数f(x)=ex(x2+ax+1).

  (1)当a=-3时,求f(x)的极小值;

  (2)若g(x)=2x3+3(b+1)x2+6bx+6(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同,证明:g(x)的极大值大于等于7.

1回答
2020-03-19 06:06
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黄惟公

  (1)当a=-3时,f(x)=ex(x2-3x+1).

  f′(x)=ex(x2-3x+1)+ex(2x-3)

  =ex(x2-x-2),

  令f′(x)=0得x2-x-2=0

  f′(x)=x2-x+2=(x+1)(x-2).

  列表如下:

  x(-∞,-1)-1(-1,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以,f(x)的极小值为f(2)=-e2.

  (2)f′(x)=ex(x2+ax+1)+ex(2x+a)

  =ex[x2+(a+2)x+(a+1)],

  令f′(x)=0得x2+(a+2)x+(a+1)=(x+1)(x+a+1)=0,由于实数a满足a≤-1,

  所以f(x)的极小值点x=-(a+1),则g(x)的极小值点也为x=-(a+1),

  而g(x)=2x3+3(b+1)x2+6bx+6,g′(x)=6x2+6(b+1)x+6b=6(x+1)(x+b),

  所以a+1=b,

  即b=a+1.

  又因为a≤-1,∴b≤0

  所以g(x)极大值=g(-1)=-2+3(b+1)-6b+6=-3b+7≥7.

  故g(x)的极大值大于等于7.

2020-03-19 06:11:17

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