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  (2008•鄂尔多斯)如图,点D,E分别是矩形OABC中AB和BC边上的中点,点B的坐标为(6,4)(1)写出A,C,E,D四点的坐标;并判断点O到直线DE的距离是否等于线段的OE长;(2)动点F在线段DE上

  (2008•鄂尔多斯)如图,点D,E分别是矩形OABC中AB和BC边上的中点,点B的坐标为(6,4)

  (1)写出A,C,E,D四点的坐标;并判断点O到直线DE的距离是否等于线段的OE长;

  (2)动点F在线段DE上,FG⊥x轴于G,FH⊥y轴于H,求矩形面积最大时点F的坐标(利用图1解答);

  (3)我们给出如下定义:分别过抛物向上的两点(不在x轴上)作x轴的垂线,如果以这两点及垂足为顶点的矩形在这条抛物线与x轴围成的封闭图形内部,则称这个矩形是这条抛物线的内接矩形,请你理解上述定义,解答下面的问题:若矩形OABC是某个抛物线的周长最大的内接矩形,求这个抛物线的解析式(利用图2解答).

  

1回答
2020-03-20 05:35
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李吉桂

  (1)根据矩形的性质和B点的坐标,易求出A、C、D、E的坐标,易知:CE=BE=3,BD=2,很明显△CDE和△BDE不相似,因此∠CED≠∠BDE,也就是说∠CED+∠BED≠90°,OE与DE不垂直,因此O到ED的距离不等于OE的长;

  (2)矩形的面积实际上是F点横坐标与纵坐标的乘积,因此求出直线DE的解析式是解题的关键.可根据(1)得出的D、E的坐标求出直线DE的解析式,进而可根据矩形的面积公式得出矩形的面积S与F横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出S的最大值及对应的F的坐标;

  (3)本题可先根据B、C的坐标设出抛物线的解析式(使抛物线的待定系数只有二次项一个),假设矩形SPQR是抛物线的任意内接矩形(R、S在抛物线上),可根据抛物线的解析式设出R、S的坐标,即可表示出RS和RP的长,然后根据矩形周长的计算方法可得出关于矩形周长和R、S其中一点横坐标的函数关系式,题中给出了抛物线内接矩形的周长最大时,x应该为6,因此得出的函数的对称轴即为x=6,由此可确定抛物线的二次项系数的值.

  【解析】

  (1)A(6,0),D(6,2),E(3,4),C(0,4)

  答:不等于

  理由:连接OE,OD,ED.

  ∵OE2=25,ED2=13,OD2=40

  ∴OE2+ED2≠OD2

  ∴OE与DE不垂直,点O到直线ED的距离不是线段OE的长.

  (证明方法很多,①△ODE的面积为9,求出DE边上的高h=与OE=5的长比较;

  ②在直线DE与x,y轴围成的三角形中,利用等积法,求点O到直线DE的距离与OE比较;

  ③证明△ODE和△EBD不相似,则∠OED≠90°;

  ④延长ED交x轴于P,在Rt△DAP中,tan∠EPO=2:3,而在△QEP中,OE:EP≠2:3,则∠OED≠90°.)

  (2)解法一:

  延长ED交x轴于点H.由已知得△EBD≌△HAD.

  ∴AH=EB=3

  ∴HO=9设OG=m,则HG=9-m.

  由△HAD∽△HGF可得=即=

  ∴GF=(9-m)=-m+6

  S矩形OGFH=OG•GF=m(-m+6)=-m2+6m(3≤m≤6)

  当m=-=-=时,S矩形OGFH最大

  GF=-×+6=3

  ∴点F(,3).

  解法二:设直线ED的解析式为y=kx+b,由图象经过E,D两点可得:

  .

  解得.

  ∴y=-x+6

  设点F的坐标为F(m,n),

  由点F在线段ED上可得:n=-m+6

  ∵FG⊥x轴于点G,FH⊥y轴于点H,

  ∴FG=n,FH=m

  ∴S矩形OGFH=mn=m(-m+6)=-m2+6m(3≤m≤6)

  当m=-当m=-=-=时,S矩形OGFH最大

  GF=-×+6=3

  ∴点F(,3)

  (3)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)由内接矩形的定义可知:

  此抛物线经过B,C两点,对称轴x=-=3,且c=4

  ∴这个抛物线的解析式为y=ax2-6ax+4

  如图,设矩形SPQR是这个抛物线的任一内接矩形,且点R(x,y)由对称性可知点S(6-x,y)

  ∴RS=2x-6,RQ=y

  又∵点R在这个抛物线上,

  ∴y=ax2-6ax+4

  ∴C矩形SPQR=2(2x-6+y)

  =2(2x-6+ax2-6ax+4)=2ax2+(-4-12a)x-4

  已知可知当x=6时,C矩形SPQR取得最大值.

  ∴-4-12a=a

  ∴a=-

  因此,所求抛物线的解析式为y=-x2+2x+4.

2020-03-20 05:38:24

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