如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆A-查字典问答网

来自刘原华的问题

　　如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E．求证：（1）PD=PE；（2）PE2=PA•PB．

　　如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E．

　　求证：（1）PD=PE；

　　（2）PE2=PA•PB．

1回答

2020-03-20 06:23

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曹德慧

　　证明：（1）连接OC、OD，

　　∵C是半圆ACB的中点

　　∴∠COA=∠COB

　　∵∠COA+∠COB=180°

　　∴∠COA=∠COB=90°

　　∴OD⊥PD，OC⊥AB．

　　∴∠PDE=90°-∠ODE，

　　∠PED=∠CEO=90°-∠C，

　　又∵OC=OD，

　　∴∠C=∠ODE，

　　∴∠PDE=∠PED．

　　∴PE=PD．

　　（2）连接AD、BD，

　　∴∠ADB=90°．

　　∵∠BDP=90°-∠ODB，∠A=90°-∠OBD，

　　又∵∠OBD=∠ODB，∴∠BDP=∠A，

　　∵∠P=∠P，

　　∴△PDB∽△PAD．

　　∴PDPB=PAPD

2020-03-20 06:28:23