如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上-查字典问答网

来自李永科的问题

　　如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经

　　如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

　　（1）求证：CE=CF；

　　（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

　　（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

　　如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC>AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．

1回答

2020-03-20 06:01

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李嘉菲

　　（1）证明：在正方形ABCD中，

　　∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，

　　∴△CBE≌△CDF．

　　∴CE=CF．

　　（2）GE=BE+GD成立．

　　∵△CBE≌△CDF，

　　∴∠BCE=∠DCF．

　　∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD．

　　即∠ECF=∠BCD=90°．

　　又∠GCE=45°，

　　∴∠GCF=∠GCE=45°．

　　∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，

　　∴△ECG≌△FCG．

　　∴EG=GF．

　　∴GE=DF+GD=BE+GD．

　　（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，

　　在直角梯形ABCD中，

　　∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，

　　又∠CGA=90°，AB=BC，

　　∴四边形ABCG为正方形．

　　∴AG=BC=12．

　　已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，

　　设DE=x，则DG=x-4，

　　∴AD=AG-DG=16-x，AE=AB-BE=12-4=8．

　　在Rt△AED中

　　∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16-x）2+82

　　解得：x=10．

　　∴DE=10．

2020-03-20 06:05:32