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  已知:如图所示,直线MA∥NB,∠MAB与∠NBA的平分线交于点C,过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E.(1)如图1所示,当直线l与直线MA垂直时,猜想线段AD、BE、AB之间的数量关

  已知:如图所示,直线MA∥NB,∠MAB与∠NBA的平分线交于点C,过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E.

  (1)如图1所示,当直线l与直线MA垂直时,猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系,请直接写出结论,不用证明;

  (2)如图2所示,当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;

  (3)当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时,(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请说明理由;如果不成立,那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗?如果存在,请直接写出它们之间的数量关系.

1回答
2020-03-20 21:28
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陈五一

  (1)AD+BE=AB.

  (2)成立.

  (方法一):在AB上截取AG=AD,连接CG.

  ∵AC平分∠MAB,

  ∴∠DAC=∠CAB,

  又∵AC=AC,AD=AG,

  ∴△ADC≌△AGC(SAS),

  ∴∠DCA=∠ACG,

  ∵AM∥BN,

  ∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°,

  ∵∠DAC=∠CAB,∠GBC=∠CBE,

  ∴∠CAB+∠GBC=90°,

  ∴∠ACB=90°即∠ACG+∠GCB=90°,

  ∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°,

  ∴∠DCA+∠BCE=90°,

  ∴∠GCB=∠ECB,

  ∵∠ABC=∠CBE,BC=BC,

  ∴△BGC≌△BEC.

  ∴BG=BE,

  ∴AD+BE=AG+BG,AD+BE=AB.

  (方法二):过点C作直线FG⊥AM,垂足为点F,交BN于点G.作CH⊥AB,垂足为点H.

  由(1)得AF+BG=AB,

  ∵AM∥BN,∠AFG=90°,

  ∴∠BGF=∠FGE=90°,

  ∵∠DAC=∠CAB,∠ABC=∠CBE,

  ∴CF=CH,CH=CG,

  ∴CF=CG,

  ∵∠FCD=∠ECG,

  ∴△CFD≌△CGE.

  ∴DF=EG,

  ∴AD+BE=AF+BG=AB.

  (方法三):延长BC,交AM于点F.

  ∵AM∥BN,

  ∴∠FCD=∠CBG,

  ∵∠CBH=∠CBG,

  ∴∠FCD=∠CBH,

  ∴AF=AB,

  ∵∠DAC=∠CAB,AC=AC,

  ∴△AFC≌△ABC,CF=CB,

  ∵∠ECG=∠BCG,

  ∴△FCD≌△BCE,

  ∴DF=BE,

  ∴AD+BE=AD+DF=AF=AB.

  (3)不成立.

  存在.当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时(如图①),AD-BE=AB.

  当点D在射线AM的反向延长线上,点E在射线BN上时(如图②),BE-AD=AB.

2020-03-20 21:29:15

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