【一道关于最优化的数学题LetAbem×nandletBbe-查字典问答网

来自唐国建的问题

　　【一道关于最优化的数学题LetAbem×nandletBbem×1.AssumethatfunctionE(X)=(|A∙X-B|)^2hasaminimumforX∈Rⁿ；LetYbetheminimum.Showthat(|A∙X-B|)^2-(|A∙Y-B|)^2=(|A∙(X-Y)|)^2】

　　一道关于最优化的数学题

　　LetAbem×nandletBbem×1.AssumethatfunctionE(X)=(|A∙X-B|)^2hasaminimumforX∈Rⁿ；

　　LetYbetheminimum.Showthat(|A∙X-B|)^2-(|A∙Y-B|)^2=(|A∙(X-Y)|)^2

1回答

2020-03-22 19:31

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陈天如

　　若Y是最小点,则有A^TAY=A^TB.(*)于是

　　|AX-B|^2-|AY-B|^2(用B^T表示B的转置)

　　=X^TA^TAX-B^TAX-X^TA^TB+B^TB-(Y^TA^TAY-B^TAY-Y^TA^TB+B^TB)

　　将所有的A^TB用A^TA^代入得

　　=X^TA^TAX-Y^TA^TAX-X^TA^TAY+Y^TA^TA^

　　=(|A(X-Y)|)^2.

　　(*)可以参考最小二乘问题得到证明,也可以利用

　　|AX-B|^2=X^TA^TAX-B^TAX-X^TA^TB+B^TB对X求导得

　　2A^TAX-2A^TBX=0,于是驻点（最小点也是驻点）满足

　　A^TAY=A^TB.

2020-03-22 19:32:21

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