已知函数f(x)=1x+ax+lnx，g(x)=a+1x+3lnx，(a∈R)．（I）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（II）若函数F（x）=f（x）-g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（III）证明：2n+1+12n≥

　　已知函数f(x)=1x+ax+lnx，g(x)=a+1x+3lnx，(a∈R)．

　　（I）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；

　　（II）若函数F（x）=f（x）-g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；

　　（III）证明：2n+1+12n≥n(n+1)ln2+3对任意的n∈N*成立．