（1）函数的定义域为（-a，+∞），求导函数可得f′(x)＝x+a−1x+a

　　令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a

　　令f′（x）＞0，x＞-a可得x＞1-a；令f′（x）＜0，x＞-a可得-a＜x＜1-a

　　∴x=1-a时，函数取得极小值且为最小值

　　∵函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，

　　∴f（1-a）=1-a-0，解得a=1；

　　（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意

　　当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx2，即g（x）=x-ln（x+1）-kx2，

　　求导函数可得g′（x）=−x[2kx−(1−2k)]x+1

　　令g′（x）=0，可得x1=0，x2=1−2k2k＞-1，

　　①当k≥12时，1−2k2k≤0．g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，故k≥12符合题意；

　　②当0＜k＜12时，1−2k2k＞0，对于x∈（0，1−2k2k），g′（x）＞0，因此g（x）在（0，1−2k2k）内单调递增．

　　因此当x0∈（0，1−2k2k）时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立，故0＜k＜12不合题意．

　　综上，k的最小值为12．

　　（3）证明：当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，所以不等式成立

　　当n≥2时，−x[2kx−(1−2k)]x+13f(−x[2kx−(1−2k)]x+14)=−x[2kx−(1−2k)]x+13[−x[2kx−(1−2k)]x+14-ln（1+−x[2kx−(1−2k)]x+14）]=−x[2kx−(1−2k)]x+13−x[2kx−(1−2k)]x+14-ln（2n+1）

　　在（2）中，取k=12，得f（x）≤12x2（x≥0），从而f(−x[2kx−(1−2k)]x+14)≤1−2k2k3＜1−2k2k4（i≥2，i∈N*）．

　　∴−x[2kx−(1−2k)]x+13−x[2kx−(1−2k)]x+14-ln（2n+1）=−x[2kx−(1−2k)]x+13f(−x[2kx−(1−2k)]x+14)=f（2）+1−2k2k9f(−x[2kx−(1−2k)]x+14)＜2-ln3+1−2k2k91−2k2k4=2-ln3+n