（1）根据图象，易得点A、C的坐标，代入解析式可得a、b的关系式；

　　（2）根据抛物线的对称性，结合题意，分a＞0，a＜0两种情况讨论，可得答案；

　　（3）根据题意，设出P的坐标，按P的位置不同分两种情况讨论，可得答案．

　　【解析】

　　（1）解法一：∵一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，

　　∴点A的坐标为（4，0）．

　　∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点，

　　∴c=0，16a+4b=0．

　　∴b=-4a（1分）．

　　解法二：∵一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，

　　∴点A的坐标为（4，0）．

　　∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点，

　　∴抛物线的对称轴为直线x=2．

　　∴x=-=2．

　　∴b=-4a（1分）．

　　（2）由抛物线的对称性可知，DO=DA

　　∴点O在⊙D上，且∠DOA=∠DAO

　　又由（1）知抛物线的解析式为y=ax2-4ax

　　∴点D的坐标为（2，-4a）

　　①当a＞0时，如图

　　设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'

　　∴点D'与点D也关于x轴对称

　　∵点O在⊙D'上，且⊙D与OD'相切，

　　∴点O为切点（2分）

　　∴D'O⊥OD

　　∴∠DOA=∠D'OA=45°

　　∴△ADO为等腰直角三角形

　　∴OD=2（3分）

　　∴点D的纵坐标为-2

　　∴-4a=-2，

　　∴a=，b=-4a=-2．

　　∴抛物线的解析式为y=x2-2x．（4分）

　　②当a＜0时，

　　同理可得：OD=2

　　抛物线的解析式为y=-x2+2x（5分）

　　综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为y=x2-2x或y=-x2+2x．

　　（3）答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA=∠OBA

　　设点P的坐标为（x，y），且y＞0

　　①当点P在抛物线y=x2-2x上时（如图）

　　∵点B是⊙D的优弧上的一点

　　∴∠OBA=∠ADO=45°

　　∴∠POA=∠OBA=60°

　　过点P作PE⊥x轴于点E，

　　∴tan∠POE=

　　∴=tan60°，

　　∴y=．

　　由

　　解得：（舍去）

　　∴点P的坐标为．（7分）

　　②当点P在抛物线y=-x2+2x上时（如图）

　　同理可得，y=

　　由

　　解得：（舍去）

　　∴点P的坐标为（4-2，-6+4）．（9分）

　　综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为（4+2，6+4）或（4-2，-6+4）．