【在平面直角坐标系xoy中,已知圆x^2+y^2=1与x轴正-查字典问答网
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  【在平面直角坐标系xoy中,已知圆x^2+y^2=1与x轴正半轴的交点为F,AB为该圆一条弦,直线AB的方程为X=M,记以AB为直径的圆为圆C,记以点F为右焦点,短半轴长为b的椭圆为D.问题;已知点M是椭圆D的长轴上】

  在平面直角坐标系xoy中,已知圆x^2+y^2=1与x轴正半轴的交点为F,AB为该圆一条弦,直线AB的方程为X=M,记以AB

  为直径的圆为圆C,记以点F为右焦点,短半轴长为b的椭圆为D.

  问题;已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点,过点M且于X轴不垂直的直线交椭圆D于P,Q两点(点P在X轴上方),点P关于X轴的对称点为N,设直线QN交X轴于点L,试判断OM乘OM是否为定值?

1回答
2020-03-22 23:11
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谭耀麟

  (1)圆心C(m,0),(-1<m<1),

  则⊙C的半径为:r=

  从而⊙C的方程为(x-m)2+y2=1-m2,

  椭圆D的标准方程为:

  (2)当b=1时,椭圆D的方程为

  x221+y2=1,

  设椭圆D上任意一点S(x1,y1),

  x122+y12=1,y12=1-

  ∵SC2=(x1-m)2+y12

  =(x1-m)2+1-

  =(x1-2m)2+1-m2

  ≥1-m2=r2,

  所以SC≥r.

  从而椭圆D上的任意一点都不存在⊙C的内部.

  (3)

  ​OL=b2+1为定值.

  证明:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),

  则由题意,得N(x1,-y1),x1≠x2,y1≠±y2,

  从而直线PQ的方程为(y2-y1)x-(x2-x1)y+x2y1-x1y2=0,

  令y=0,得xM=

  x1y2-x2y1y2-y1,

  ∵直线QN的方程为(y2+y1)x-(x2-x1)y-x1y2-x2y1=0,

  令y=0,得xL=

  x2y1+x1y2y2+y1.

  ∵点P,Q在椭圆D上,

  ∴

  x12b2+1+

  y12b2=1,

  x22b2+1+

  y22b2=1,

  ∴x12=b2+1-

  b2+1b2y12,x22=b2+1-

  b2+1b2y22,

  ∴xM•xL=

  (b2+1-

  b2+1b2y12)y22-(b2+1-

  b2+1b2y22)y12y22-y12

  =

  (b2+1)(y22-y12)y22-y12=b2+1.

  ∴

  ​OM•

  ​OL=xM•xL=b2+1为定值.

2020-03-22 23:14:16

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