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  【如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2mx2-2x与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且对称轴与x轴交于点C.(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示);(2)D为BO中点,直线AD交y轴于E,若点E的坐】

  如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2mx2-2x与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且对称轴与x轴交于点C.(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示);(2)D为BO中点,直线AD交y轴于E,若点E的坐标为(0,2),求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,点M在直线BO上,且使得△AMC的周长最小,P在抛物线上,Q在直线BC上,若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.

1回答
2020-03-24 19:08
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史玉苓

  (1)∵y=

  2

  m

  x2-2x=

  2

  m

  (x2-mx+

  1

  4

  m2)-

  2

  m

  •

  1

  4

  m2=

  2

  m

  (x-

  1

  2

  m)2-

  1

  2

  m,

  ∴抛物线的顶点B的坐标为(

  1

  2

  m,-

  1

  2

  m).

  (2)令

  2

  m

  x2-2x=0,解得x1=0,x2=m.

  ∵抛物线y=

  2

  m

  x2-2x与x轴负半轴交于点A,

  ∴A(m,0),且m<0.

  过点D作DF⊥x轴于F,如右图;

  由D为BO中点,DF∥BC,可得CF=FO=

  1

  2

  CO.

  ∴DF=

  1

  2

  BC.

  由抛物线的对称性得AC=OC.

  ∴AF:AO=3:4.

  ∵DF∥EO,

  ∴△AFD∽△AOE.

  ∴

  FD

  OE

  =

  AF

  AO

  .

  由E(0,2),B(

  1

  2

  m,-

  1

  2

  m),得OE=2,DF=-

  1

  4

  m.

  ∴

  -

  1

  4

  m

  2

  =

  3

  4

  .

  ∴m=-6.

  ∴抛物线的解析式为y=-

  1

  3

  x2-2x.

  (3)依题意,得A(-6,0)、B(-3,3)、C(-3,0).可得直线OB的解析式为y=-x,直线BC为x=-3.

  作点C关于直线BO的对称点C′(0,3),连接AC′交BO于M,则M即为所求.

  由A(-6,0),C′(0,3),可得直线AC′的解析式为y=

  1

  2

  x+3.

  由

  y=

  1

  2

  x+3

  y=-x

  解得

  x=-2

  y=2.

  ∴点M的坐标为(-2,2).

  由点P在抛物线y=-

  1

  3

  x2-2x上,设P(t,-

  1

  3

  t2-2t).

  (ⅰ)当AM为所求平行四边形的一边时.

  ①如右图,过M作MG⊥x轴于G,过P1作P1H⊥BC于H,

  则xG=xM=-2,xH=xB=-3.

  由四边形AMP1Q1为平行四边形,可证△AMG≌△P1Q1H.

  可得P1H=AG=4.

  ∴t-(-3)=4.

  ∴t=1.

  ∴P1(1,-

  7

  3

  ).

  ②如右图,同①方法可得P2H=AG=4.

  ∴-3-t=4.

  ∴t=-7.

  ∴P2(-7,-

  7

  3

  ).

  (ⅱ)当AM为所求平行四边形的对角线时,如右图;

  过M作MH⊥BC于H,过P3作P3G⊥x轴于G,则xH=xB=-3,xG=xP3=t.

  由四边形AP3MQ3为平行四边形,可证△AP3G≌△MQ3H.

  可得AG=MH=1.

  ∴t-(-6)=1.

  ∴t=-5.

  ∴P3(-5,

  5

  3

  ).

  综上,点P的坐标为P1(1,-

  7

  3

  )、P2(-7,-

  7

  3

  )、P3(-5,

  5

  3

  ).

2020-03-24 19:13:48

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