（2012•阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+b-查字典问答网

来自陈德煌的问题

　　（2012•阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动

　　（2012•阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

　　（1）求这个二次函数的关系解析式；

　　（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

　　考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！

　　（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

　　（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

　　（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

1回答

2020-03-24 21:01

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孙吉红

　　（1）由抛物线y=ax2+bx+2过点A（-3，0），B（1，0），则

　　0＝9a−3b+20＝a+b+2

　　解这个方程组，得a=-23，b=-43．

　　∴二次函数的关系解析式为y=-23x2-43x+2．

　　（2）设点P坐标为（m，n），则n=-23m2-43m+2．

　　连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．

　　PM=-23m2-43m+2，PN=-m，AO=3．

　　当x=0时，y=-23×0-43×0+2=2，所以OC=2

　　S△PAC=S△PAO+S△PCO-S△ACO

　　=231AO•PM+231CO•PN-231AO•CO

　　=231×3•（-23m2-43m+2）+231×2•（-m）-231×3×2

　　=-m2-3m

　　∵a=-1＜0

　　∴函数S△PAC=-m2-3m有最大值

　　当m=-239=-430时，S△PAC有最大值．

　　此时n=-23m2-43m+2=-23×(−430)2-43×(−430)+2=437

　　∴存在点P（-430，437），使△PAC的面积最大．

　　（3）如图（3）所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．

　　过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，易证△Q1CD≌△CBO，

　　∴Q1D=OC=2，CD=OB=1，∴OD=OC+CD=3，∴Q1（2，3）；

　　同理求得Q2（3，1），Q3（-1，-1），Q4（-2，1）．

　　∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（-1，-1），Q4（-2，1）．

　　（4）如图（4）所示，设E（n，0），则BE=1-n，QE=-23n2-43n+2．

　　假设以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似，则有两种情况：

　　①若△AOC∽△BEQ，则有：232＝233，

　　即−23n2−43

2020-03-24 21:06:29