材料二：以往的足球多数是由黑、白两色皮粘合或缝制成的多面体加工而成的.其中黑块皮为正五边形,白块皮为正六边形.表面之间具有下列特征：⑴黑块皮周围都是白块皮；⑵每两个相邻的正多边形恰好有一条公共边；⑶每个顶点都是相邻三块皮的公共边,且为一黑二白（如图一所示）.

　　随着科技的发展、足球运动水平的提高及人们审美观的改变,足球在皮革材料的选取、制作方法等都得到了大幅的改进.如本届世界杯比赛的“飞火流星”(FEVERNOVA)足球就是使用了最新科技制造的足球,该球表面采用蜂窝泡沫设计,

　　使足球重量减轻,飞行更加快速,表面的涂层在光线的照射下会出现淡淡的金色,使足球成为真正的艺术品.但同时我们发现,其表面的正五边形和正六边形的结构特征却始终如一.

　　问题：⑴正五边形和正六边形的个数；⑵球体与正多面体的关系.

　　分析：⑴简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系（欧拉定理）.假设正五、六边形各有、个,则面数.由于每条棱均为二个面的交线,棱数,而每个顶点均为三个面的公共点,顶点数.由欧拉定理,有①.又因为每个正六边形的六条边中有三条边与正五边形相连,剩余三条边与正六边形相接,故②.解①、②可得、,即正五边形有12个,正六边形有20个.此时,面数为32,顶点数为60,棱边数为90.

　　⑵每个面都是由相同边数的正多边形,每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体称为正多面体.利用欧拉定理可以证明,正多面体只有五种,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.经过计算,上述五种正多面体的顶点数均不是60,因此,都不是足球表面的结构.要想得到有60个顶点的多面体,可以采用把正多面体的顶角截下来的办法.因为在截角时,每截下来原来的一个顶角,便会产生更多的顶角.通过尝试,发现对正二十面体利用平截的方法截角,可以实现这样的设想.在每个顶点的棱边的处将顶角截去,由于正二十面体有12个顶角,削去这12个顶角后,可使这12个平截的地方变成12个五边形,且剩下的面全变成六边形（一共有20个）,最后得到的将是一个由12个五边形和20个六边形组成的三十二面体.它的顶点数为60,棱边数为90,面数为32,此为足球表面的多面体结构（如图二所示）.

　　12个正五边形和20个正六边形拼成一个完美无缺的“三十二面体”球面,象征着参加世界杯决赛的32支队伍从五大洲、四大洋汇聚到一起,共同交流文化、切磋球技、展示风采,并借此促进足球运动、足球文化、足球经济的不断发展,足球在运动员脚下创造了无数个奇迹.