甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为,乙、丙做对的概率分别为m、n(),且三位学生是否做对相互独立,记ξ为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:ε0123Pab(1)求至少
甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为,乙、丙做对的概率分别为m、n(),且三位学生是否做对相互独立,记ξ为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:ε0123Pab(1)求至少有一位学生做对该题的概率;(2)求m、n的值;(3)求ε的数学期望.
(本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想)解:设“甲做对”为事件A,“乙做对”为事件B,“丙做对”为事件C,由题意知:P(A)=1/2,P(B)=m,P(C)=n.(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ζ=0”是对立的,所以至少有一位学生做对该题的概率是1-P(ξ=0)=1-1/4=3/4.(2)由题意知P(ξ=0)=P(ABC)=1/2(1-m)(1-n)=1/4,P(ξ=3)=P(ABC)()=1/2mn=1/24,整理得mn=1/12,m+n=7/12.由m>n,解得m=1/3,n=1/4.(3)由题意知a=P(ξ=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=1/2(1-m)(1-n)+1/2m(1-n)+1/2(1-m)n=11/24,b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=1/4,∴ε的数学期望为Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2P(ξ=2)+3P(ξ=3)=13/12.