在三角形ABC中,已知P为BC边垂直平分线上一点,且角PBG-查字典问答网

来自李伟的问题

　　在三角形ABC中,已知P为BC边垂直平分线上一点,且角PBG等于二分之一角A,BP、CP分别交AC、AB于D、E.求证：BE=CD

1回答

2020-03-28 22:52

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顾雪峰

　　作PG与AB交于点Q,连接QC,QC与BD交与点R

　　∵PG垂直平分BC,

　　∴所以PB=PC,∠PBC=∠PCB=∠A/2

　　∴∠DPC=2∠PBC=∠A

　　又∵∠DCP=∠ECA

　　∴∠AEC=180°-∠A-∠ECA=180°-∠DPC-∠DCP=∠PDC

　　∴△CEA∽△CDP 同理△BDA∽△BEP

　　∵∠PBC=∠PCB ∠PGB=∠PGC=90°

　　∴∠BPG=∠CPG

　　∴∠QPR=∠BPG=∠CPG=∠QPE

　　又∵QP=QP,∠PQE=PQR

　　∴△QEP≌△QRP

　　∴∠AEC=∠QEP=∠QRP=∠DRC

　　又∵△CEA∽△CDP

　　∴∠AEC=∠CDP

　　∴∠CDP=∠DRC

　　∴CR=CD

　　∵BE=CR

　　∴BE=CD

2020-03-28 22:54:21