圆面积：x^2+y^2=r^2只需算出第一象限,然后乘以4S/4=∫(0到r)√(r^2-x^2)dx令x=rcosa√(r^2-x^2)=rsinadx=-rsinada所以S/4=∫(π/2到0)rsina*(-rsina)da=-r^2∫(π/2到0)(sina)^2da=-r^2∫(π/2到0)(1-cos2a)/2da=-r^2/4∫(π/2到0)(1-cos2a)d2a=-r^2/4(2a-sin2a)(π/2到0)=πr^2/4所以S=πr^2长方形的面积推导是在一个大长方形中画一些面积为1平方厘米的小正方形,由小正方形的个数推出长方形的面积由长*宽得到.正方形是特殊的长方形,用长方形面积公式即可得到.平行四边形的面积推导是由长方形面积推导而来的,把平行四边形的一角切割平移至另外一角,拼成一个长方形,长方形的长就是平形四边形的底,宽就是平行四边形的高,因为长方形的面积是长*宽,所以平形四边形的面积就是底*高三角形的面积是由平行四边形面积推导出来的.两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底就是三角形的底,高就是三角形的高,因为平行四边形的面积是底*高,所以三角形的面积为底*高/2梯形面积也由平行四边形面积得到.两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底就梯形的上底+下底,平行四边形的高就是梯形的高,因为平行四边形的面积是底*高,所以梯形的面积为（上底+下底）*高/2圆形：积分在平面直角坐标下圆的方程是x^2+y^2=r^2这可以写成参数方程x=r*Costy=r*Sintt∈[0,2π]于是圆周长就是C=∫√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt,t从0积到2π.结果自然就是C=2π*r