已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧-查字典问答网

来自满海鸥的问题

　　已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=______；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=______

　　已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，

　　（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=______；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=______；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=______；

　　（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=______（用含α的式子表示）；

　　（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．

1回答

2020-03-30 13:57

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陈明辉

　　（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，

　　所以△ACD是等边三角形．

　　∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，

　　所以△ECB是等边三角形．

　　∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，

　　又∵∠ACD=∠BCE，

　　∴∠ACE=∠BCD．

　　∵AC=DC，CE=BC，

　　∴△ACE≌△DCB．

　　∴∠EAC=∠BDC．

　　∠AFB是△ADF的外角．

　　∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．

　　如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，

　　∴△ACE≌△DCB．

　　∴∠AEC=∠DBC，

　　又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，

　　∴∠EFD=90°．

　　∴∠AFB=90°．

　　如图3，∵∠ACD=∠BCE，

　　∴∠ACD-∠DCE=∠BCE-∠DCE．

　　∴∠ACE=∠DCB．

　　又∵CA=CD，CE=CB，

　　∴△ACE≌△DCB．

　　∴∠EAC=∠BDC．

　　∵∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB=180°-（180-∠ACD）=120°，

　　∴∠FAB+∠FBA=120°．

　　∴∠AFB=60°．

　　故填120°，90°，60°．

　　（2）∵∠ACD=∠BCE，

　　∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．

　　∴∠ACE=∠DCB．

　　∴∠CAE=∠CDB．

　　∴∠DFA=∠ACD．

　　∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．

　　（3）∠AFB=180°-α；

　　证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

　　即∠ACE=∠DCB．

　　在△ACE和△DCB中

　　AC＝DC∠ACE＝∠DCBCE＝CB

2020-03-30 13:58:28

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