例1画出不等式组表示的平面区域．

　　分析采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域,然后求其公共部分．

　　解把,代入中得

　　∴不等式表示直线下方的区域（包括边界）,即位于原点的一侧,同理可画出其他两部分,不等式组所表示的区域如图所示．

　　说明“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．

　　例2若、满足条件求的最大值和最小值．

　　分析画出可行域,平移直线找最优解．

　　解作出约束条件所表示的平面区域,即可行域,如图所示．

　　作直线,即,它表示斜率为,纵截距为的平行直线系,当它在可行域内滑动时,由图可知,直线过点时,取得最大值,当过点时,取得最小值．

　　∴∴

　　说明解决线性规划问题,首先应明确可行域,再将线性目标函数作平移取得最值．

　　例3某糖果厂生产、两种糖果,种糖果每箱获利润40元,种糖果每箱获利润50元,其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序,下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）

　　混合

　　烹调

　　包装

　　1

　　5

　　3

　　2

　　4

　　1

　　每种糖果的生产过程中,混合的设备至多能用12机器小时,烹调的设备至多只能用机器30机器小时,包装的设备只能用机器15机器小时,试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．

　　分析找约束条件,建立目标函数．

　　解设生产种糖果箱,种糖果箱,可获得利润元,则此问题的数学模式在约束条件下,求目标函数的最大值,作出可行域,其边界

　　由得,它表示斜率为,截距为的平行直线系,越大,越大,从而可知过点时截距最大,取得了最大值．

　　解方程组

　　∴即生产种糖果120箱,生产种糖果300箱,可得最大利润19800元．

　　说明由于生产种糖果120箱,生产种糖果300箱,就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分）,烹调时间5×120＋4×300＝1800（分）,包装时间3×120＋300＝660（分）,这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间,但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用,这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰”部分,有待于改进研究．

　　例4甲、乙、丙三种食物的维生素、含量及成本如下表：

　　甲

　　乙

　　丙

　　维生素（单位/千克）

　　600

　　700

　　400

　　维生素（单位/千克）

　　800

　　400

　　500

　　成本（元/千克）

　　11

　　9

　　4

　　某食物营养研究所想用千克甲种食物,千克乙种食物,千克丙种食物配成100千克的混合食物,并使混合食物至少含56000单位维生素和63000单位维生素．（1）用、表示混合物成本．（2）确定、、的值,使成本最低．

　　分析找到线性约束条件及目标函数,用平行线移动法求最优解．

　　解（1）依题意：、、满足

　　∴成本（元）

　　（2）依题意

　　∵

　　∴

　　作出不等式组所对应的可行域,如图所示．

　　联立

　　作直线则易知该直线截距越小,越小,所以该直线过时,直线在轴截距最小,从而最小,此时7×50＋5×20＋400＝＝850元

　　∴千克,千克时成本最低．