平方和公式n(n+1)(2n+1)/6

　　即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注：N^2=N的平方)

　　证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6

　　证法一（归纳猜想法）：

　　1、N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1

　　2、N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5

　　3、设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6

　　则当N＝x＋1时,

　　1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2

　　＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6

　　＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6

　　＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6

　　＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6

　　也满足公式

　　4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.

　　证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：

　　(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

　　n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

　　.

　　3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1

　　2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.

　　把这n个等式两端分别相加,得：

　　(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

　　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

　　代人上式得：

　　n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n

　　整理后得：

　　1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6