第四节幂级数

　　教学重点：幂级数的敛散性

　　教学难点：收敛域的求法

　　教学时数：2

　　教学方法：讲练结合

　　一、函数项级数的概念

　　定义1函数列,

　　则称为函数项级数.

　　定义2取,则成为常数项级数,

　　若收敛,则称为的收敛点；

　　若发散,则称为的发散点.

　　定义3函数项级数的收敛点的集合称为其收敛域,记为D.

　　定义4对于任意一点,有收敛,因而有一个确定的和,该和是关于的函数,称为和函数,记为S（x）.

　　定义5若用表示的前n项的和,

　　则在收敛域上,有.

　　记,称为的余项,且在收敛域上有.

　　二、幂级数

　　1．幂级数的有关概念

　　定义6具有下列形式的函数项级数

　　（1）称为幂级数.

　　特别地,在中,令,即上述形式化为

　　（2）,称为的幂级数.

　　取为常数项级数,如收敛,其和为

　　为常数项级数,如收敛,其和为

　　为和函数,总收敛

　　对幂级数主要讨论两个问题：

　　（1）幂级数的收敛域（2）将函数表示成幂级数.

　　幂级数的收敛域具有特别的结构

　　定理1：（i）如在收敛,则对于满足的一切,都绝对收敛；

　　（ii）如在发散,则对于满足的一切,发散.

　　证：（1）∵收敛

　　∴（收敛数列必有界）

　　而

　　为几何级数,当即收

　　∴收∴原级数绝对收敛

　　（2）反证：如存在一点使收

　　则由（1）收,矛盾.

　　由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间,因此存在非负数R,使收敛；发散,称R为收敛半径,（-R,R）为收敛区间.

　　2．幂级数的收敛域及其求法

　　定理2：如幂级数系数满足,

　　则（1）,,收敛区间为（-R,R）；

　　（2）,,收敛区间为（－∞,＋∞）；

　　（3）,,幂级数仅在一点x=0处收敛.

　　注意：当时,的敛散性不能确定,要讨论的敛散性,

　　从而求得收敛域.

　　例1：求下列幂级数的收敛域.

　　（1）（2）（3）

　　（1）,故,

　　当时,原级数为为交错级数,满足

　　¬,∴收敛；

　　当时,原级数为发散,

　　∴收敛域为

　　解（2）由于∴

　　故收敛域为.

　　解（3）

　　令∴.

　　当时,

　　原级数为

　　∴发散；

　　同理时,级数也发散,

　　∴收敛域

　　三、幂级数的性质

　　定理3

　　定理

　　求幂级数的和函数：利用逐项求导,逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式,即化到公式：