一阶二次递归数列：

　　二次递归数列不具有普遍的求通项的方法,只有个别情况可解

　　例如：

　　（一）换元法

　　递推式：

　　a(n+1)=2*an^2-1

　　1)当|a1|=1时,显然有an=1（n>=2,n∈N*）

　　2)当|a1|1时

　　令a1=(t+1/t)/2

　　显然,由数学归纳法可证明

　　an=(t^(2^(n-1))+1/(t^(2^(n-1)))/2

　　变式1

　　递推式：

　　a(n+1)=an^2-2

　　1)当|a1|=2时,显然有an=2（n>=2,n∈N*）

　　2)当|a1|2时

　　令a1=t+1/t

　　显然,由数学归纳法可证明

　　an=t^(2^(n-1))+1/(t^(2^(n-1))

　　变式2

　　递推式：

　　a(n+1)=((an+1)/2)^0.5

　　（a1>=0）

　　1)当a1=1时,显然有an=1（n>=2,n∈N*）

　　2)当a11时

　　令a1=(t+1/t)/2

　　显然,由数学归纳法可证明

　　an=(t^(2^(1-n))+1/(t^(2^(1-n)))/2

　　变式3

　　递推式：

　　an=(a(n-1)+2)^0.5

　　（a1>=0）

　　1)当a1=2时,显然有an=2（n>=2,n∈N*）

　　2)当a12时

　　令a1=t+1/t

　　显然,由数学归纳法可证明

　　an=t^(2^(1-n))+1/(t^(2^(1-n))

　　（二）配方法

　　递推式：

　　a(n+1)=A*an^2+B*an+C

　　且A、B、C满足B^2-4*A*C=2B,

　　a1=D

　　A,B,C,D为常数,A不为0

　　则有a(n+1)+B/(2A)=A*(an+B/(2A))^2

　　两边取对数,令xn=ln(an+B/(2A))

　　则有x(n+1)=2*xn+ln(A)

　　这样即转化成了一阶常系数线性递推数列.

　　变式：

　　递推式：

　　a(n+1)=A*an^2+B*an+C

　　A,B,C为常数,A不为0

　　可利用配方法,将其转化为

　　a(n+1)+B/(2A)=A*(an+B/(2A))^2+C+B/(2A)-(B^2)/(4*A)

　　不妨设

　　xn=an+B/(2A)

　　C+B/(2A)-(B^2)/(4*A)=-P

　　若A>0,P>0

　　即转化为

　　x(n+1)=A*xn^2-P

　　若

　　满足

　　AP=2

　　则可化为

　　A*x(n+1)=(A*xn)^2-2

　　接下来即可用换元法解决

　　二阶线性递归数列：

　　如果是二阶常系数线性递归数列的话,存在通解（如果系数不是常数那就很麻烦,也只有个别情况下可解,我只给出二阶常系数线性递归数列的解法）

　　a(n+2)=p*a(n+1)+q*an+f(n),即为二阶常系数线性递归数列

　　如果f(n)=0,称为二阶常系数齐次线性递归数列

　　对于二阶常系数齐次线性递归数列

　　递推式：

　　a(n+2)=p*a(n+1)+q*an

　　（n∈N*,p,q为常数）

　　1）待定系数法

　　a(n+2)=p*a(n+1)+q*an

　　可转化为等比数列：

　　a(n+2)-α*a(n+1)=β*(a(n+1)-α*an)

　　和

　　a(n+2)-β*a(n+1)=α*(a(n+1)-β*an)

　　其中α+β=A

　　α*β=-B

　　2）特征根法

　　a(n+2)=p*a(n+1)+q*an

　　其特征方程为x^2-p*x-q=0

　　i.若其有两个不相等的根（称作特征根）α、β

　　则an=A*α^n+B*β^n

　　其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.

　　ii.若其有两个相等的根α

　　则an=(A*n+B)*α^n

　　其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.

　　最终可得：

　　当{an}有两个不等的特征根为根α,β时

　　an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1)

　　当特征根为重根α时

　　an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)

　　当f(n)不为0时

　　a(n+2)=p*a(n+1)+q*an+f(n)

　　利用待定系数法,将f(n)分配入各单项式,使之满足：

　　g(n+2)+f(n)=p*g(n+1)+q*g(n)

　　这个g(n)称为特解

　　（当然前提是f(n)表达式不过于复杂,否则的话非常麻烦）

　　这样,令bn=an+g(n)

　　原递推式化为

　　b(n+2)=p*b(n+1)+q*bn

　　bn称为通解

　　最后an=bn-g(n)

　　即得到答案