不一定.根号2的根号2次方是什么?

　　如果是有理数,最好不过.

　　如果是无理数,那么这个数的根号2次方就是2,就是无理数的无理数次方是有理数.

　　证明：

　　若（根号2的根号2次方）为有理数,则命题成立.

　　若（根号2的根号2次方）为无理数,则（根号2的根号2次方）的（根号2）次方=（根号2）的（根号2*根号2）次方=（根号2）的（2）次方=2,2为有理数,命题成立.

　　又如：

　　证明方法：

　　随便取一个数的自然对数,如ln10

　　如果ln10为无理数,就证明无理数的无理数次方可以为有理数.

　　证明ln10为无理数,也就是证明ln10不可能是有理数.

　　采用反证法,设ln10为有理数.

　　我们知道有理数和无理数的差别.

　　有理数是可以表示成分数的,即可以表示为两个整数相除.

　　而无理数,是不能表示为两个整数相除的.

　　如果ln10为有理数,则e的有理数次（此数不为0）方可能为有理数.（推论1）

　　即无理数e的整数次幂开整数次方为有理数.

　　先讨论e的整数次幂的问题.

　　无理数e的整数次幂可以表示成若干个无理数e相乘.其结果只能是无理数.证明如下：

　　如果e的整数次幂为有理数,那么e可以表示为有理数除以一个整数,而该有理数也可以表示为两整数相除,最后得出e可以表示为两整数相除,与e的无理数身份矛盾.

　　所以e的整数（不能为0）次幂必为无理数.（定理1）

　　其次,无理数开整数次方不可能是有理数.（定理2）这个大家都明白,很简单.

　　根据定理1和定理2,得出无理数e的有理数（不能为0）次幂必为无理数.（定理3）

　　如果ln10是有理数,那么根据定理3,10为无理数.错误.

　　所以ln10为无理数.

　　所以,无理数的无理数次方可能为有理数.