呃,初步看了一下那个百科条目,只能说质量很差.先帮你梳理一下然后再详细说说：

　　英语中使用的音节的数量是有限的,整个句子中包含的音节数少于40个的英语句子的数量也是有限的.所以,用少于40个音节的句子表述的正整数的数量也是有限的.来看看下面的句子：

　　不能由少于40个音节的英语句子来表示的最小的正整数(TheleastpositiveintegerwhichisnotdenotedbyanexpressionintheEnglishlanguagecontainingfewerthanfortysyllables).

　　这句英语只包含三十几个音节,肯定比40个少,而且表示“不能由少于40个音节的英语句子来表示的最小的正整数”,这自然产生了矛盾.

　　如果你看到这里就明白了的话,就不用往下看啦.

　　培里悖论是指,存在有“能被不少于一定数目的单词（words）定义的整数”.

　　（"thesmallestpossibleintegernotdefinablebyagivennumberofwords."）

　　听上去蛮绕口的是吧?其实呢,我们大家都数过数,这个意思就是说让我们能用有限的发音数出来的数是存在的.这当然是废话,但你看下去可能就不会这么认为了.

　　先讲一点翻译上的问题,我习惯把words理解为语素,就是能单独表达一定意义的最小的语言单位（笑、桃、摩托、忐忑、蹊跷、阿诗玛……）.这样比较符合原意,也能符合汉语的用法.为了帮助理解,枚举英汉涉及数字的部分语素.

　　英：one,two,ten,eleven,twenty,fifty,hundred,million等等；

　　汉：一二三四五六七八九十百千万亿兆京垓秭等等.

　　当然这个悖论中所说的语素不仅限于此,但是无论英汉或是再加上其他发音,人类使用的语素是有限的,这取决于人类发声器官功能的局限性.

　　下面我们就来看看培里悖论的论述过程.

　　我们假设有这样一个由正整数构成的集合——这个集合中的整数要由不少于八个单词来定义.

　　若单词总数是有限个数,那么少于八个单词所组成的短语也是有限个数的,因此由少于八个单词来定义的正整数也是有限的.既然我们有无穷多个正整数,那就意味着存在这样的正整数——至少要用八个单词来定义.

　　根据良序原则（每一个非空的正整数集都包含一个最小的元素）,如果一个集合满足条件,那么也必有此集合中最小的正整数满足条件,即“至少要用八个单词来定义”.

　　符合以上描述的整数唯一.所以我们可以得出：有一整数符合以上描述.

　　“有一整数符合以上描述”,该定义一共七个单词（语素）,所以这个“至少要用八个单词来定义”的整数被我们用七个单词就给定义了.

　　悖论出现了：对一个特定整数给出了定义,但由于表达自我指涉（有这样一个整数,它被定义为至少要用八个单词来定义）,所以被它定义的任何整数都不符合它的定义.

　　我们把这个悖论转换成数学语言来看看可能会更加的清楚：

　　问题是这样的：

　　假设这样一个集合——[n,n1,n2……）n,n1,n2……∈N+

　　这个集合中最小的正整数n由不少于八个单词来定义

　　这个集合存在么?

　　发现问题所在了么?关键就在于“定义”二字.

　　这回别说是八个单词了,要想表达这个由至少八个单词来定义的正整数的集合中的一个数,我们一个单词都没用,仅仅在一开始,我们用了一个n就表达出来了.实际上,我们不仅用了n,在前面也用过“有一整数”、“这一整数”等指代性的词.这些指代有什么问题?这是个什么样的集合?

　　这个集合由[n由至少八个单词来定义]来定义.n=[n由至少八个单词来定义]

　　我们陷入了“这个集合由[[[[……由至少八个单词来定义]由至少八个单词来定义]由至少八个单词来定义]由至少八个单词来定义]来定义.”的无限循环之中……

　　这就是自我指涉悖论.至此,我们可以看到真相了,培里悖论混淆了描述和定义.出现悖论的原因是,它的定义没有合适的外延.

　　培里悖论是自我指涉悖论的一个实例.

　　自我指涉悖论反映朴素集合论中定义缺少外延,“自我包含”造成的定义的循环.

　　著名的理发师悖论则是自我参照悖论的实例.

　　自我参照悖论反映朴素集合论中定义缺少内涵,“互为因果”造成的定义的矛盾.

　　自我指涉悖论与自我参照悖论是罗素悖论（即语义悖论）的重要组成.

　　造成语义悖论的原因是朴素集合论只把集合当做客体的聚合,并以这种聚合来定义集合.

　　罗素悖论是对朴素集合论的重大挑战.并最终导致了公理化集合论的形成与确立.

　　公理化集合论引入了外延和内涵对集合进行限定,用明确定义的公理证明集合和成员的关系,并以此来定义集合,从而避免了语义悖论.