教学目标

　　1.使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念,并能初步运用它解决实

　　际问题；

　　2.引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义,在概念形成的过程中,发展学生

　　的思维能力.

　　教学重点和难点

　　本课的重点是“二面角”和?“二面角的平面角”的概念；

　　本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程.

　　教学设计过程

　　教师:在平面几何中“角”是怎样定义的?

　　学生:从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角.

　　教师:在立体几何中,“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的?

　　它们有什么共同的特征?

　　学生:直线a,b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a′‖a,b′‖b,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.

　　平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.

　　它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角.

　　教师:请同学们观察下面的几个问题.

　　(当教师说完上述话后,利用多媒体技术,让学生通过计算机看两个例子)

　　例子之一:

　　镜头一:淡蓝色的地球.(图片)

　　镜头二:火箭发射人造地球卫星.(录相)

　　镜头三:人造地球卫星绕地球旋转,最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面.

　　让学生观察这两个平面相交成一定的角度.

　　例子之二:

　　镜头一:人走在坡度不太大的桥上.(录相)

　　镜头二:人在爬山.(录相)

　　镜头三:攀岩运动.(录相)

　　镜头四:演示下面动态图象.(让水平面静止不动,坡面在不断变化,目的是让学生看到,

　　在生活实践中,有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形)

　　(注意:四个镜头要连续编排在一起进行演示,时间一分钟)

　　教师:如何给二面角下定义呢?下面我们用类比的办法,与角的概念对比,探讨二面角的定义.

　　这一段教学采用计算机辅助手段,每一个问题分三步完成,首先给出平面角的问题,然后请

　　学生思考并回答二面角的问题,最后计算机显示正确结果.这部分共有四个问题,全部研究

　　完毕后,将整个过程列成一个总表,显示在屏幕上.

　　教师:请看角的图形,思考二面角的图形.

　　学生可以将自己画的图展示给大家.

　　计算机显示:二面角的图形.

　　教师:(给出平面角的定义)请同学们给二面角下定义.

　　显示:从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.

　　学生:(口答)

　　计算机显示:从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形.

　　教师:平面角由射线—点—射线构成.二面角呢?

　　学生:二面角由半平面—线—半平面构成.

　　教师:平面角表示法:∠AOB.

　　二面角表示法α-α-β或α-AB-β.

　　最后计算机显示整个过程.

　　教师:经过上面的研究我们已经看到,平面上的角,可以看作是一条射线绕其端点旋转形成

　　的图形；类似地,一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形,就是二面角.

　　教师:二面角与平面内的角一样,是可以比较大小的,其比较方法,与平面内的角的大小的

　　比较方法类似.

　　(教师让学生打开书本)

　　打开书本的过程,给我们一种二面角的大小连续变化的形象.(前面看到的爬山问题也是如此)

　　教师:用量角器可以量出平面内的角的大小,能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢.

　　比如,这里有一个对顶量角器和一个三角木块(直三棱柱)模型,你们能用我们自制的对顶量

　　角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗?比如平面α与β的夹角?

　　教师:一般地说,量角器只能测量“平面角”(指两条相交直线所成的角.相应地,我们把

　　异面直线所成的角,直线与平面所成的角和二面角,均称为空间角)那么,如何去度量二面

　　角的大小呢?我们以往是如何度量某些角的?

　　学生:分别通过“取点、平移(相交)”(对异面直线所成的角)与“斜线的射影(相交)”(对

　　斜线与平面所成的角)去度量的.

　　教师:这些做法的共同点是什么?

　　学生:都是将空间角化为平面角.

　　教师:对!再回到刚才的量角操作,你是怎样用对顶量角器去量二面角α-l-β的大小呢?

　　学生:将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面,角的顶点则在二面角的棱上.

　　教师:大家注意,实际上同学们量的是一个平面内的角:∠ABC.这个角的顶点在二面角的

　　棱上,它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直.而且对于确定的二面角,这样的角的

　　大小是唯一的,确定的,我们把它叫做二面角的平面角.

　　(对于训练有素,肯于思考的学生可能会提出下面的问题)

　　学生:若以棱a上任意一点O为端点,在两个面内作与棱成等角θ′(0°＜θ′＜90°)的两

　　条射线OA′,OB′,由空间等角定理知,∠A′OB′也是存在且唯一的,为什么不用这样的

　　角定义二面角的平面角?

　　教师:记∠AOB=θ,∠A′OB′=j.当OA′,OB′在平面AOB同侧时θ＞j；当OA′,OB′

　　在平面AOB异侧时θ＜j.请看图6:

　　设A′P′=a,A′P=b,A′B′=x

　　由余弦定理,得:

　　cosj=2(1-cosj),

　　cosθ=2(1-cosθ),

　　所以

　　在RtΔA′pp′中:sinθ′=,

　　所以sin2θ′=.(*)

　　当OA′,OB在平面AOB的同侧时,若用∠A′OB′=表示二面角的大小,由(*)知,与θ

　　之间会有常数关系,这将给表示,尤其是计算、应用带来诸多不便；另外,若用∠A′OB′=

　　表示二面角的大小,当平面α⊥平面β时；≠90°,当半平面α与半平面β在同一平面

　　时,=2θ′≠180°,都与已有知识和经验不符,不能直观反映出空间两个相交平面的相