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  【一辆汽车在直线形公路AB由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄.在公路AB上是否存在这样一点D,汽车行驶到该点时,与村庄M、N的距离之差最大?】

  一辆汽车在直线形公路AB由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄.

  在公路AB上是否存在这样一点D,汽车行驶到该点时,与村庄M、N的距离之差最大?

1回答
2020-04-09 17:03
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黄惟公

  (1)M,N到AB的距离不相等时,如图:

  做N关于AB的对称点N’,连接MN’,交AB于P.

  则:︱MP-NP︱=︱MP-N’P︱=MN’

  在AB上任取一点Q,连接MQ,NQ,N’Q.

  则:︱MQ-NQ︱=︱MQ-N’Q︱<MN’(三角形中,两边之差小于第三边)

  所以:P点即为所求D点.

  (2)M,N到AB的距离相等,即MN’∥AB时:

  在AB上任取一点Q,连接MQ,NQ,N’Q.

  虽然,︱MQ-NQ︱=︱MQ-N’Q︱<MN’仍然成立,但是,MN’和AB没有交点,

  所以:︱MQ-NQ︱没有最小值!D点不存在(或者说:D在无限远处)

  (3)当M和N’重合时,

  在AB上任取一点Q,都有︱MQ-NQ︱=0,所以:AB上的任一点都是D点.

2020-04-09 17:07:17

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