费马点的小论文

　　费马(PierredeFermat,1601-1665)是一位律师和法国政府的公务员,他利用闲暇的时间研究数学,他从未发表他的研究发现,但是他几乎与同时代的所有欧洲的大数学家保持通信.曾经,费马是欧洲所有数学研究进展之交换中心.

　　费马点的定义

　　费马点,就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点.

　　当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点.

　　费马点的证明

　　证明一

　　Part1当有一个内角大于等于120度时候

　　对三角形内任一点P

　　延长BA至C'使得AC=AC',做∠C'AP'=∠CAP,并且使得AP'=AP,PC'=PC,（说了这么多,其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）

　　则△APC≌△AP'C'

　　∵∠BAC≥120°

　　∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°

　　∴等腰三角形PAP'中,AP≥PP'

　　∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC

　　所以A是费马点

　　Part2当所有内角都小于120°时

　　做出△ABC内一点P,使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,分别作PA,PB,PC的垂线,交于D,E,F三点,如图,再作任一异于P的点P',连结P'A,P'B,P'C,过P'作P'H垂直EF于H

　　易知∠D=∠E=∠F=60°,即△DEF为等边三角形,计边长为d,面积为S

　　则有2S=d(PA+PB+PC)

　　∵P'A≥P'H

　　所以2S△EP'F≤P'A×d

　　同理有

　　2S△DP'F≤P'B×d

　　2S△EP'D≤P'C×d

　　相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)

　　即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C,当且仅当P,P'重合时取到等号

　　所以P是费马点

　　证明二

　　如右图所示,⊿ABE、⊿ACH、⊿BCG均为等边三角形,连接AG、CE、BH,CE与AB相交于F,则：

　　∵⊿AEC≌⊿ABH,

　　∴∠1=∠2,∴⊿BFP∽⊿EFA,∠3=∠4=60°

　　在PE上取点D,使得⊿DBP为正三角形

　　则⊿ABP≌⊿EBD,得AP=ED

　　∴PA+PB+PC=DE+PD+PC=CE

　　费马点的应用

　　(1)一条河宽1km,两岸各有一座城市A与B,A与B的直线距离是4km,今须铺设一条电缆连A与B,已知地下电缆修建费用为2万元/km,水下电缆为4万元/km,假定河两岸是直线,问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小?

　　(2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上,须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发,可沿此网络中的线达到别的点),问此网络应以什么方式连接这四个点,方可使所用的线总长最小?