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  【定义:数学活动课上,李老师给出如下定义:如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称这个三角形为“智慧三角形”.理(1)如图1,已知A、B是⊙O上两点,请在圆上找出】

  定义:

  数学活动课上,李老师给出如下定义:如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称这个三角形为“智慧三角形”.

  理

  (1)如图1,已知A、B是⊙O上两点,请在圆上找出满足条件的点C,使△ABC为“智慧三角形”(画出点C的位置,保留作图痕迹);

  (2)如图2,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=14CD,试判断△AEF是否为“智慧三角形”,并说明理由;

  运用:

  (3)如图3,在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,点Q是直线y=3上的一点,若在⊙O上存在一点P,使得△OPQ为“智慧三角形”,当其面积取得最小值时,直接写出此时点P的坐标.

1回答
2020-04-09 10:19
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刘新胜

  (1)如图1所示:

  (2)△AEF是否为“智慧三角形”,

  理由如下:设正方形的边长为4a,

  ∵E是DC的中点,

  ∴DE=CE=2a,

  ∵BC:FC=4:1,

  ∴FC=a,BF=4a-a=3a,

  在Rt△ADE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,

  在Rt△ECF中,EF2=(2a)2+a2=5a2,

  在Rt△ABF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,

  ∴AE2+EF2=AF2,

  ∴△AEF是直角三角形,

  ∵斜边AF上的中线等于AF的一半,

  ∴△AEF为“智慧三角形”;

  (3)如图3所示:

  由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形,

  根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时,另一条直角边最短,则面积取得最小值,

  由垂线段最短可得斜边最短为3,

  由勾股定理可得PQ=

  3

2020-04-09 10:20:11

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