将N的所有子集分为两大类A类和B类,其中A类中的子集均含有元素n,B类中的子集不含有元素n,任意B类中的集合添上元素n即为A类中的集合,且不同的B类中的子集添上元素n后所得的A类中的集合也不同,故A,B两类子集的个数一样多,且一一对应,N所有子集有2^n个,故A,B两类子集的个数均为(2^n)/2=2^(n-1);

　　设S是B类集合中任意一个子集,S1=S∪{n}是A中与S对应的有子集,S中元素的“交替和”与S1中元素的“交替和”之和恰等于n,这是因为出现在S,S1中的同一元素在“交替和”中符号相反,相加时互相抵消,仅剩下n,故两者相加为n.如：

　　设S={a1,a2,…,ak},其中a1>a2>…>ak,S的“交替和”为a1-a2+a3-,…,+(-1)^(k-1)ak,S1的“交替和”为n-a1+a2-a3-,…,+(-1)^kak,两者相加为n,A中子集与B中子集有对应关系的共有2^(n-1),于是N的所有子集的“交替和”之和为n×2^(n-1).