课本题源如图1和图2，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠-查字典问答网

来自唐佛南的问题

　　课本题源如图1和图2，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，且两个三角形不相似．问：能否分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC所分割成的两个三角形与△A′B′C′所分割成的两个

　　课本题源

　　如图1和图2，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，且两个三角形不相似．问：能否分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC所分割成的两个三角形与△A′B′C′所分割成的两个三角形分别对应相似？如果能，请设计出分割方案；如果不能，请说明理由．

　　问题解决

　　小明通过分割∠C和∠C′，解决了问题，示意图如图3和图4（图中∠DCA=∠A′；∠D′C′A′=∠A）：

　　（1）小亮说：不分割∠C和∠C′，也能解决问题，请你尝试根据小亮的思路解决问题（在所给图（图5和图6）形上画出分割线，并注明相等的角即可）．

　　结论推广

　　（2）小红发现：对于有一个角对应相等的两个不相似的三角形，一定可以把每一个三角形分割成两个小三角形，使分割出的小三角形分别对应相似．请对她的发现做出解释（或者画出示意图和分割线，并注明相等的角也可）．

　　深入研究

　　（3）小红继续思索：对于三个角都不相等的两个三角形，是否可以把每一个三角形分割成三个小三角形，使分割出的小三角形分别对应相似呢？请帮小红想一想，如果可以，请你设计出分割方案（画出示意图和分割线，并注明相等的角；或者说明操作步骤）；如果不可以，请你说明理由．

1回答

2020-04-11 19:23

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李昭

　　问题解决：

　　（1）如图5和6，设∠CAB>∠A′，∠C′B′A′>∠B，

　　作∠DAB=∠A′（即∠1=∠A′），作∠D′B′A′=∠B（即∠2=∠B），

　　则有△ADB∽△A′D′B′，

　　∵∠ADC=∠1+∠B=∠A′+∠2=∠B′D′C′，∠C=∠C′=90°，

　　∴△ACD∽△B′C′D′；

　　结论推广

　　（2）如图7，当∠C=∠C′≠90°，设∠CAB>∠A′，∠C′B′A′>∠B，

　　作∠DAB=∠A′（即∠1=∠A′），作∠D′B′A′=∠B（即∠2=∠B），

　　则有△ADB∽△A′D′B′，

　　∵∠ADC=∠1+∠B=∠A′+∠2=∠B′D′C′，∠C=∠C′，

　　∴△ACD∽△B′C′D′，

　　深入研究

　　（3）如图8，设∠CAB>∠A′，∠C′B′A′>∠B，

　　作∠DAB=∠A′（即∠1=∠A′），作∠D′B′A′=∠B（即∠2=∠B），

　　则有△ADB∽△A′D′B′，

　　设∠ACD>∠C′B′D′，∠B′C′D′>∠CAD，

　　作∠ACE=∠C′B′D′（即∠3=∠4），作∠E′C′B′=∠EAC（即∠6=∠5），

　　即可得到△ACE∽△C′B′E′，

　　∵∠EDC=∠1+∠B=∠A′+∠2=∠E′D′C′，

　　∠CED=∠3+∠5=∠4+∠6=∠C′E′D′，

　　即可得到△CED∽△C′E′D′．

2020-04-11 19:26:55