∵y=|x|为偶函数，y=x为奇函数

　　∴f（x）=x|x|奇函数

　　当x≥0时，f（x）=x2为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得

　　函数f（x）在R上增函数

　　又∵不等式f（x+2a）＞4f（x）可化为（x+2a）|x+2a|＞4x•|x|=2x•|2x|=f（2x）

　　故当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，

　　即当x∈[a，a+1]时，不等式x+2a＞2x恒成立

　　即x＜2a恒成立

　　即a+1＜2a

　　解得a＞1

　　故实数a的取值范围是（1，+∞）

　　故答案为：（1，+∞）