证明：设S(n)=1/1²+1/2²+...+1/n²

　　∵1/1²≤2-1/1

　　∴猜想S(n)≤2-1/n

　　当n=1时,成立

　　假设当n=k＞1时成立,即S(k)≤2-1/k

　　下面正面当n=k+1时,S(k+1)≤2-1/(k+1)成立

　　显然,S(k+1)=S(k)+1/(k+1)²≤2-1/k+1/(k+1)²

　　∵k²+2k+1≥k²+2k

　　(k+1)²≥k(k+1)+k

　　(k+1)²-k≥k(k+1)

　　-(k+1)²+k≤-k(k+1)

　　∵k＞1,∴k+1＞0

　　-1/k+1/(k+1)²≤-1/(k+1).//此处不等式左右同时除以k(k+1)²

　　2-1/k+1/(k+1)²≤2-1/(k+1)

　　即S(k+1)≤2-1/k+1/(k+1)≤2-1/(k+1),成立

　　∴猜想成立,即S(n)≤2-1/n

　　∵1/n＞0

　　-1/n＜0

　　2-1/n＜2

　　∴S(n)≤2-1/n＜2

　　即S(n)＜2