证明：

　　当n＝1时,左式＝1,右式＝（1＋1）^1＝2,显然有左式＜右式,原不等式成立.

　　假设当n＝k时原不等式成立,即1＋2^2＋3^3＋……＋k^k＜（k＋1）^k

　　那么当n＝k＋1时,

　　左式＝1＋2^2＋3^3＋……＋k^k＋（k＋1）^（k＋1）

　　＜（k＋1）^k＋（k＋1）^（k＋1）

　　＝（k＋1）^k＋（k＋1）（k＋1）^k

　　＝（1＋k＋1）（k＋1）^k

　　＝（k＋2）（k＋1）^k

　　＜（k＋2）（k＋2）^k

　　＝（k＋2）^（k＋1）

　　右式＝（k＋1＋1）^（k＋1）＝（k＋2）^（k＋1）

　　即左式＜右式,原不等式也成立.

　　综上所述,原不等式成立.