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来自陈育新的问题

  在平面直角坐标系xoy中,点P到两点(0,负根号3),(0,根号3)的距离之和等于4,设点P轨迹为C(1)写出C的方程(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时,向量OA垂直于向量OB?(3)若点A在第一象限,证

  在平面直角坐标系xoy中,点P到两点(0,负根号3),(0,根号3)的距离之和等于4,设点P轨迹为C

  (1)写出C的方程

  (2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时,向量OA垂直于向量OB?

  (3)若点A在第一象限,证明:当k>0时,恒有OA>OB

  各位哥哥姐姐们,前两题都OK,主要是第三题的证明,搜索了很久,就是没有第三小题的证明.

1回答
2020-04-14 18:43
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孟庆勇

  第三问证明如下:

  由第一问易得:

  点P的轨迹方程为:x^2+y^2/4=1,是焦点在y轴上的椭圆;

  直线y=kx+1过定点(0,1).

  设A(X1,Y1),B(X2,Y2),

  由题设,X1>0,k>0,则必有X2|OB|只要证|OA|^2>|OB|^2即可

  |OA|^2-|OB|^2

  =|向量OA|^2-|向量OB|^2

  =(向量OA+向量OB)*(向量OA-向量OB)

  =(X1+X2,Y1+Y2)*(X1-X2,Y1-Y2)

  =X1^2-X2^2+Y1^2-Y2^2

  =X1^2-X2^2+4-4X1^2-4+4X2^2(点在椭圆上)

  =-3(X1^2-X2^2)

  =-3(X1+X2)*(X1-X2)

  X1>0,则X20

  又由上知道X1+X2=-2k/(4+k^2)

  而已知k>0,所以X1+X20

  所以|OA|^2>|OB|^2

  所以|OA|>|OB|

  问题得证.

  你说第一问第二问没问题,我也就实实在在没解第一第二问,只证了第三问.供你参考

  其实后来想想,完全可以不用向量来解,只要用个两点间的距离公式就可以.那样也很简单.

2020-04-14 18:46:59

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