【等腰梯形ABCD,AB等于二倍根号二.CD等根号六.梯形面-查字典问答网
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  【等腰梯形ABCD,AB等于二倍根号二.CD等根号六.梯形面积为一加二分之根号三.分别用AB为椭圆E的左右焦点.CD在椭圆E上.1求椭圆的标准方程.2若M和N是椭圆E上两点.O为AB中点.向量OM乘以向量ON等于0.向】

  等腰梯形ABCD,AB等于二倍根号二.CD等根号六.梯形面积为一加二分之根号三.分别用AB为椭圆E的左右焦点.CD在椭圆E上.1求椭圆的标准方程.2若M和N是椭圆E上两点.O为AB中点.向量OM乘以向量ON等于0.向量MN的绝对值的最小值.

1回答
2020-04-14 19:04
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韩延安

  (1)S=1/2(2√2+√6)*h=1+√3/2

  h=√2/2

  以AB中点为原点O,OA为x轴建立坐标系,CD位于AB上方

  则A(-√2,0),B(√2,0),C(√6/2,√2/2),D(-√6/2,√2/2)

  设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/(a^2-2)=1

  将C点坐标代入得

  a^2=3或a^2=1(舍)

  所以椭圆的标准方程为x^2/3+y^2=1

  (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则由OM·ON=0

  得x1x2+y1y2=0

  即x1^2*x2^2=y1^2*y2^2=(1-x1^2/3)(1-x2^2/3)

  8x1^2*x2^2-3x1^2-3x2^2-9=0

  x2^2=(3x1^2+9)/(8x1^2-3)

  |MN|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]

  =√[x1^2+x2^2+y1^2+y2^2]

  =√[2x1^2/3+2x^2/3+2]=√[2/3(x1^2+x2^2)+2]

  =√[2/3(x1^2+(3x1^2+9)/(8x1^2-3))+2]

  =√[2/3(x1^2+3/8+(81/8)/(8x1^2-3))+2]

  =√[2/3(1/8(8x1^2-3)+(81/8)/(8x1^2-3)+3/4)+2]

  ≥√[2/3(2*9/8+3/4)+2]=2

  当x1=√6/2时等号成立

  所以|MN|min=2

2020-04-14 19:06:42

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