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  【椭圆的方程椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点坐标为(1,0),且长轴长是短轴长的√2倍..设O为坐标原点,椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A,B,线段AB的中点为P,若直线OP的斜率为-1,求△OAB的面】

  椭圆的方程

  椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点坐标为(1,0),且长轴长是短轴长的√2倍..

  设O为坐标原点,椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A,B,线段AB的中点为P,若直线OP的斜率为-1,求△OAB的面积

1回答
2020-04-14 08:35
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李文珍

  a=√2b,则:

  c^2=a^2-b^2=2b^2-b^2=1,

  所以b^2=1,a^2=2.

  故椭圆C:x^2/2+y^2=1.

  设A(x1,y1),B(x2,y2),在椭圆C:x^2/2+y^2=1上,则:

  x1^2/2+y1^2=1,x2^2/2+y2^2=1,

  相减得:

  (x1^2-x2^2)/2+(y1^2-y2^2)=0.(1)

  又A(x1,y1),B(x2,y2),在直线:y=kx+1上,则:

  (y1-y2)/(x1-x2)=k.(2)

  AB的中点P的坐标为:((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),

  直线OP的斜率为-1,即

  [(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=(y1+y2)/(x1+x2)=-1.(3)

  (2),(3)两式相乘,得:

  (y1^2-y2^2)=-k(x1^2-x2^2),

  代入(1),得:

  (1/2-k)(x1^2-x2^2)=0.

  因为A,B是两个不同的点,故x1不=x2,

  所以k=1/2.

  直线:y=1/2*x+1,代入椭圆C:x^2/2+y^2=1,得:

  3/4*x^2+x=0,

  x=0,x=-4/3,

  所以y=1,y=1/3,

  故A(0,1),B(-4/3,1/3).

  所以S△OAB=1/2*|OA|*|xB|=1/2*1*4/3=2/3.

2020-04-14 08:38:43

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