【已知抛物线y^2=8x的焦点为F,点A.C在抛物线上(AC-查字典问答网
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来自廖汉忠的问题

  【已知抛物线y^2=8x的焦点为F,点A.C在抛物线上(AC与x轴不垂直)(1)若点B在该抛物线的准线上,且A.B.C三点的纵坐标成等差数列,求证BF⊥AC(本问已经做出,主要看第2问)(2)若直线AC过点F,求证以AC为直径】

  已知抛物线y^2=8x的焦点为F,点A.C在抛物线上(AC与x轴不垂直)

  (1)若点B在该抛物线的准线上,且A.B.C三点的纵坐标成等差数列,

  求证BF⊥AC(本问已经做出,主要看第2问)

  (2)若直线AC过点F,求证以AC为直径的圆与定圆(x-3)^2+y^2=9相内切

  大家帮个忙谢谢只要第2问的答案和思路

1回答
2020-04-14 08:45
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胡顺仁

  (I)证明:设A(y1^2/8,y1)、C(y2^2/8,y2),则B(-2,y1+y2/2)

  AC的斜率Kac=8/y1+y2

  因为F(2,0),所以Kbf=y1+y2/(-8)

  由Kac*Kbf=-1,可知BF⊥AC

  (II)证明:设AC的斜率为k,则A、F、C所在直线的方程为y=k(x-2)

  设A(x1,y1)、C(x2,y2)

  由y^2=8x

  y=k(x-2),分别消去x或y得到

  y^2-8/y-16=0或k^2x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0

  所以y1+y2=8/k,y1y2=-16,x1+x2=4k^2+8/k^2

  因此以AC为直径的圆的圆心为D(2k^2+4/k^2,4/k)

  再由∣AC∣=√1+1/k^2*∣y2-y1∣

  =√k^2+1/k^2*√(y1+y2)^2-4y1y2

  =√k^2+1/k^2*√64/k^2+64

  =8√k^2+1/k^2*√k^2+1/k^2

  =8*k^2+1/k^2

  得圆的半径R=∣AC∣/2=4k^2+4/k^2

  又定圆心为E(3,0),半径为

  可得∣DE∣=√(2K^2+4/K^2-3)^2+(4/K)^2=4+K^2/K^2

  又R-r=4k^2+4/k^2-3=4+k^2/k^2=∣DE∣

  因此这两个圆相内切.

2020-04-14 08:46:54

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