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来自荆振国的问题

  直线L:y=k(x-5)与圆O:x²+y²=16相交与A,B两点,当k变动时,弦AB的中点M的轨迹方程这种求点轨迹的问题打死我都做不起…

  直线L:y=k(x-5)与圆O:x²+y²=16相交与A,B两点,当k变动时,弦AB的中点M的轨迹方程

  这种求点轨迹的问题打死我都做不起…

1回答
2020-04-14 20:19
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刘鑑澄

  解法1、

  当x=5时,代入直线L中,得y=0,所以L过点M(5,0)

  因为L交圆于A、B两点,而AB中点为C,设中点C坐标为(x0,y0)

  连接CO,CO垂直AB

  则有CO^2+MC^2=OM^2

  即(x0^2+y0^2)+(x0-5)^2+y0^2=25

  化简得:(x0-5/2)^2+y0^2=25/4

  即C(x0,y0)满足方程:(x-5/2)^2+y^2=25/4

  所以AB中点轨迹是以(5/2,0)为圆心,半径为5/2的圆

  还有一种常见的解法:

  解法2、

  解方程组y=k(x-5)x²+y²=16消去y得到关于x的一元二次方程

  用韦达定理求出x1+x2的值,(结果含K),利用y1+y2=k(x1-5)+K(x2-5)来求y1+y2(结果也含K)

  设A、B中点C坐标为(x0,y0)则有x0=(x1+x2)/2(结果含K)

  有y0=(y1+y2)/2=(结果含K)再把这两式消去K,得到关于x0,y0的方程,这就是AB点C的轨迹方程

2020-04-14 20:23:47

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