在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-根号3)和F2-查字典问答网

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　　在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-根号3)和F2(0,根号3)为焦点,离心率为根号3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B,且向量OM=向量OA+向

　　在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-根号3)和F2(0,根号3)为焦点,离心率为根号3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B,且向量OM=向量OA+向量OB,求

　　（1）点M的轨迹方程（2）|向量OM|的最小值

1回答

2020-04-13 03:08

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白慧

　　因为c^2=3,e^2=c^2/a^2=3/a^2=3/4,所以a^2=4,

　　则b^2=a^2-c^2=1,

　　因此椭圆的方程为y^2/4+x^2=1,（*）

　　设P（x0,y0）,则椭圆在P处的切线方程为y0*y/4+x0*x=1,

　　令y=0得A（1/x0,0）,令x=0得B（0,4/y0）,

　　因此OM=OA+OB=（1/x0,4/y0）.

　　（1）设M（x,y）,则x=1/x0,y=4/y0,

　　因此x0=1/x,y0=4/y,

　　由于x0、y0满足（*）,

　　所以代入可得4/y^2+1/x^2=1,这就是M的轨迹方程.

　　（2）由于y0^2/4+x0^2=1,

　　因此|OM|^2=1/x0^2+16/y0^2

　　=(1/x0^2+16/y0^2)(x0^2+y0^2/4)

　　=1+4+16(x0/y0)^2+1/4*(y0/x0)^2

　　>=5+2*√(16/4)=9,

　　所以,|OM|的最小值为3.

2020-04-13 03:11:04