【变积分上限函数的求导请问∫t*f(2x-t)dt（上限为x,下限为0）如何求导?也请给出理由.shenqi41271你给的答案是我以前做错的答案,我们老师求出来的是：xf(x)+2∫t*f'(2x-t)dt(上限x,下限0)我就是想知道】
变积分上限函数的求导
请问∫t*f(2x-t)dt（上限为x,下限为0）如何求导?也请给出理由.
shenqi41271
你给的答案是我以前做错的答案,我们老师求出来的是：
xf(x)+2∫t*f'(2x-t)dt(上限x,下限0)
我就是想知道对这个函数求导是不是把他当成复合函数求导,那样的话应该是xf(x)*2∫t*f'(2x-t)dt(上限x,下限0)么?
d[∫(0,x)t*f(2x-t)dt]/dx
=[∫(0,x+Δx)t*f(2x+2Δx-t)dt-∫(0,x)t*f(2x-t)dt]/Δx
={∫(0,x)t*[f(2x+2Δx-t)-f(2x-t)]dt}/Δx+[∫(x,x+Δx)t*f(2x+2Δx-t)dt]/Δx
而因为[f(2x+2Δx-t)-f(2x-t)]/Δx=2f'(2x-t)
{∫(0,x)t*[f(2x+2Δx-t)-f(2x-t)]dt}/Δx
=∫(0,x)2t*f'(2x-t)dt
令g（t）=t*f(2x+2Δx-t),记g(t)的原函数为G(t)
则[∫(x,x+Δx)t*f(2x+2Δx-t)dt]/Δx=[G(x+Δx)-G(x)]/Δx=G'(x)=g(x)=xf(x)（Δx为无穷小）
原式=∫(0,x)2t*f'(2x-t)dt+xf(x)
不能看做复合函数,因为运用复合函数求导公式时,复合函数的某个自变量必须在一个函数内.
如f[g(x)],对x的导数是f'[g(x)]*g'(x)
而自变量不在同一个函数里的,如f[g(x),x]这时候就不能用复合函数求导公式,即f[g(x),x]的导数不等于f'[g(x)]*g'(x).
若把原式看做复合函数,
令∫g(x)dx(上限s,下限t)=h[g(x),s,t]
则∫t*f(2x-t)dt（上限x,下限0）=h[t*f(2x-t),x,0],自变量x不在同一个函数内.