f(x,n)=x^(n-1)*ln(x)

　　f'(x,n)=x^(n-1)*(1/x)+(n-1)*x^(n-2)*ln(x)

　　=x^(n-2)+(n-1)*x^(n-2)*ln(x)

　　=x^(n-2)+(n-1)*f(x,n-1)

　　对n做数学归纳法.

　　n=1时,有

　　f(x,1)=ln(x),

　　f'(x,1)=1/x=0!/x.

　　成立.

　　设(n-1)时成立,即

　　f[n-1阶导](x,n-1)=(n-2)!/x.

　　则有

　　f[n阶导](x,n)

　　=((x^(n-1)*ln(x))')[再求n-1阶导数]

　　=(x^(n-2)+(n-1)*f(x,n-1))[求n-1阶导数]

　　=0+(n-1)*f[n-1阶导](x,n-1)

　　=(n-1)*(n-2)!/x

　　证毕.