【已知直线y=ax+2与椭圆3x²+y²-查字典问答网

来自李新利的问题

　　【已知直线y=ax+2与椭圆3x²+y²=1交于两点A、B两点,是否存在以AB为直径且过坐标原点的圆?若存在求出a的值,若不存在,请说明理由】

　　已知直线y=ax+2与椭圆3x²+y²=1交于两点A、B两点,是否存在以AB为直径且过坐标原点的圆?

　　若存在求出a的值,若不存在,请说明理由

1回答

2020-04-15 11:34

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贾代平

　　存在.理由如下：

　　直线代入椭圆整理得

　　（3+a²）x²+4ax+3=0

　　∴x1+x2=-4a/(3+a²）x1x2=3/(3+a²）

　　y1+y2=-4a²/(3+a²）+4=12/(3+a²）y1y2=3a²/(3+a²）-8a²/(3+a²）+4=（12-a²)/(3+a²）

　　AB的中点即圆心（-2a/(3+a²）,6/(3+a²））

　　AB²=（x1-x2)²+（y1-y2)²=（x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)²-4y1y2=16a²/(3+a²)²-12/(3+a²）+144/(3+a²)²+（4a²-48）/(3+a²）=（4a^4-32a²-36）/(3+a²）²

　　题意得

　　4a²/(3+a²）²+36/(3+a²）²=1/4AB=（a^4-8a²-9）/(3+a²）

　　∴a=根号15或者a=-根号15

2020-04-15 11:34:54