已知抛物线y^2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率-查字典问答网

来自董如金的问题

　　已知抛物线y^2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B,absAB1,求实数a的取值范围若线段AB的垂直平分线交X轴于点N，求三角形ABN的面积的最大值

　　已知抛物线y^2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B,absAB

　　1,求实数a的取值范围

　　若线段AB的垂直平分线交X轴于点N，求三角形ABN的面积的最大值

1回答

2020-04-16 16:13

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李园庭

　　(Ⅰ)直线方程为y=x-a,将y=x-a代入y2=2px,得

　　x2-2(a+p)x+a2=0

　　设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),

　　∴｜AB｜==

　　∵0＜｜AB｜≤2p,8p(p+2a)＞0,∴0＜≤2p,解得-＜a≤-

　　(Ⅱ)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令其坐标为(x0,y0),

　　由中点坐标公式有

　　∴｜QM｜==p

　　又∵△MNQ为等腰直角三角形,

　　∴｜QN｜=｜QM｜=p

　　∴S△NAB=｜AB｜•｜QN｜=p•｜AB｜≤p•2p=p2

　　即△NAB面积的最大值为p2.

2020-04-16 16:14:12