【几道高二数学题,求助设O是坐标原点,F是抛物线y^2=2p-查字典问答网
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  【几道高二数学题,求助设O是坐标原点,F是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,向量FA与x轴正向的夹角为60°,则向量OA的模长?已知F是抛物线C:y^2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点】

  几道高二数学题,求助

  设O是坐标原点,F是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,向量FA与x轴正向的夹角为60°,则向量OA的模长?

  已知F是抛物线C:y^2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点是M(2,2),则△ABF的面积?

  已知抛物线y^2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相较于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y1^2+y2^2的最小值是?

  要有过程的..谢谢!

1回答
2020-04-17 00:25
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蒲汛

  (1).

  ∵向量FA与x轴正向夹角为60°,

  ∴直线FA的斜率k=tan60°=√3,且A在F的右侧.

  ∴直线FA的方程是:y=√3(x-p/2)

  将直线方程代入y²=2px

  ∴3(x-p/2)²=2px

  ∴3x²-3px+3p²/4=2px

  ∴12x²-20px+3p²=0

  ∴(6x-p)(2x-3p)=0

  ∴x=p/6或x=3p/2

  ∵A在F右侧

  ∴xA=3p/2,∴yA=√3p

  ∴|OA|=√(9p²/4+3p²)=√(21p)/2

  (2)

  F为抛物线C:y^2=4x的焦点,F(1,0),OF=1

  AB的中点为M(2,2)

  yA+yB=2yM=4

  直线AB:y-2=k(x-2)

  x=(y+2k-2)/k

  y^2=4x=4*(y+2k-2)/k

  ky^2-4y+8-8k=0

  yA+yB=4/k

  4/k=4

  k=1

  直线AB:y=x,经过原点O(0,0)

  设xA=yA=0,xB=yB=4

  方法一:

  三角形ABF的面积=|OF|*|yB|/2=1*4/2=2

  方法二:

  AB=√(xB^2+yB^2)=√4^2+4^2)=4√2

  点F(1,0)到直线AB的距离:L=1/√2

  三角形ABF的面积=AB*L/2=4√2*(1/√2)/2=2

  (3)

  设过(4,0)的直线为y=k(x-4),

  联立y^2=4x

  得(k^2)x^2-(8k^2+4)x+4k^2=0

  于是y1^2+y2^2=4x1+4x2=4(x1+x2)=4(8k^2+4)/k^2=4(8+4/k^2)

  =32+8/k^2.

  显然,当K→∞,8/k^2→0,即当AB所在的直线⊥OX轴时Y1^2+Y2^2最小值是32

2020-04-17 00:28:09

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