已知直线y=-x+1与椭圆(x^2)/(a^2)+(y^2)-查字典问答网
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来自陈斯福的问题

  已知直线y=-x+1与椭圆(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1.(a>b>0)相交于A、B两点.(1)若椭圆的离心率为(根号3)/3,焦距为2,求线段AB的长.(2)若向量OA与向量OB互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心

  已知直线y=-x+1与椭圆(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1.(a>b>0)相交于A、B两点.

  (1)若椭圆的离心率为(根号3)/3,焦距为2,求线段AB的长.

  (2)若向量OA与向量OB互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率e?闭区间1/2到(根号2)/2时,求椭圆的长轴长的最大值.

1回答
2020-04-16 16:16
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李家兵

  (1)设A(x1,y1),B(x2,y2)

  e=√3/3c=1a=c/e=√3b=√2

  椭圆方程是x^2/3+y^2/2=1

  联立x^2/3+y^2/2=1

  y=-x+1

  消去y,得

  5x^2-6x-3=0

  |AB|=√(1+1)|x1-x2|

  x1+x2=6/5

  x1x2=-3/5

  (x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=96/25

  |AB|=x1x2+y1y2=0

  |AB|=√2√(96/25)=(8√3)/5

  (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)

  联立x^2/a^2+y^2/b^2=1

  y=-x+1

  消去y,得

  (a^2+b^2)x^2-2a^2+a^2-a^2b^2=0

  有x1+x2=2a^2/(a^2+b^2)①

  x1x2=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)②

  向量OA与向量OB互相垂直

  向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=0

  y1=-x1+1,y2=-x2+1,代入x1x2+y1y2=0

  2x1x2-(x1+x2)+1=0③

  把①②代入③得

  a^2+b^2=2a^2b^2

  b^2=a^2-c^2,c=ae代入上式得

  a^2=2(1-e^2)/(2-e^2)④

  当1/2

2020-04-16 16:16:58

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